Projete um circuito que produza uma saída ALTO só quando todas as três entradas estiverem no mesmo nível.
a) Use uma tabela-verdade e um mapa K para obter a solução da soma-de-produtos.
b) Use duas entradas de portas XOR e outras portas para encontrar a solução. (sugestão: Lembre-se da propriedade da álgebra…se \mathrm{a}=\mathrm{b} e \mathrm{b}=\mathrm{c}, então \mathrm{a}=\mathrm{c}.)
Passo 1
O enunciado pede um circuito com três entradas e uma saída que seja ALTO apenas quando as três entradas estiverem no mesmo nível (todas 0 ou todas 1). As tarefas são duas:
(a) Usar tabela-verdade e mapa de Karnaugh para obter a solução na forma soma-de-produtos.
(b) Usar duas portas XOR (com outras portas que precisar) para chegar a uma solução, tirando proveito da propriedade sugerida: se a=b e b=c então a=c.
Informações dadas (sem ambiguidade):
Entradas: A,\;B,\;C.
Saída: F, com F=1 exatamente quando A,B,C forem todos iguais (ou seja, (0,0,0) ou (1,1,1)).
Passo 2
Construção da tabela-verdade (listar todas as combinações e o valor desejado de F):
Explicando devagar: para cada linha a saída é 1 somente nas linhas (A,B,C)=(0,0,0) e (1,1,1). As demais combinções geram F=0.
Passo 3
Introdução rápida ao mapa de Karnaugh (K-map) para 3 variáveis e preenchimento.
O mapa de Karnaugh para três variáveis costuma ser escrito em 2 linhas (para A=0 e A=1) e 4 colunas (para as combinações de BC em ordem Gray 00,01,11,10).
Preenchendo com os valores da tabela-verdade (peguei os valores da tabela acima):
linha A=0:
coluna BC=00\RightarrowF=1 (minterm m_0)
colunas 01,11,10\RightarrowF=0
linha A=1:
colunas 00,01,11 exceto 11 conforme tabela — só BC=11 tem F=1 (minterm m_7)
demais são 0
O K-map fica com exatamente duas células 1: a célula correspondente a m_0 e a célula correspondente a m_7.
Passo 4
Simplificação pelo K-map e conclusão da soma-de-produtos.
No K-map cada 1 está isolada (não há vizinhança 2,4 ou 8 que permita agrupar), portanto não é possível combinar minterms para eliminar literais. Logo a forma mínima em soma de produtos é simplesmente a soma (OU) dos dois minterms:
F = \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C} \;+\; A B C.
Explicando cada termo:
O termo \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C} corresponde à linha A=0,B=0,C=0.
O termo A B C corresponde à linha A=1,B=1,C=1.
Isso é a resposta pedida em (a): a soma-de-produtos canônica que dá 1 exatamente nas duas combinações desejadas.
Passo 5
Breve aula sobre soma-de-produtos e minterms (por que funcionou assim):
Um minterm é um produto (AND) que é verdadeiro só para uma única combinação de entradas. Por exemplo, \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C} é 1 somente quando A=0,B=0,C=0.
A soma (OR) de minterms seleciona as linhas da tabela-verdade onde se quer saída 1.
O mapa de Karnaugh ajuda a agrupar minterms adjacentes para reduzir o número de literais; aqui não foi possível agrupar, então a expressão canônica é mínima na forma de minterms.
Passo 6
Resolver (b): usar duas portas XOR e outras portas. Conceitos necessários:
A porta XOR de duas entradas X\oplus Y vale 1 se as entradas são diferentes e 0 se são iguais. Em forma booleana: X\oplus Y = X\overline{Y} + \overline{X}Y.
A porta XNOR é o inverso da XOR: \text{XNOR}(X,Y)=\overline{X\oplus Y}, vale 1 quando X=Y.
A propriedade sugerida no enunciado implica que testar igualdade par a par é suficiente: se A=B e B=C então A=C e portanto A=B=C.
Usando isso: calcule X = A\oplus B e Y = B\oplus C.
Quando A=B temos X=0; quando B=C temos Y=0.
Precisamos de F=1 quando ambos X=0 e Y=0. Ou seja, F=1 quando X=0 e Y=0.
Portanto uma implementação com duas XORs é:
gerar X = A\oplus B (porta XOR)
gerar Y = B\oplus C (porta XOR)
então F deve ser 1 apenas quando X=0 e Y=0. Isso é conseguido por uma porta NOR que toma X e Y como entradas, porque \text{NOR}(X,Y) = \overline{X+Y} que vale 1 exatamente quando X=0 e Y=0.
Logo uma forma prática é:
F = \overline{(A\oplus B) + (B\oplus C)}.
Outra forma equivalente, se houver portas XNOR (igualdade) e AND disponíveis, é:
F = \text{XNOR}(A,B)\;\land\;\text{XNOR}(B,C).
Passo 7
Mostrar algebraicamente que a solução com XNORs dá a mesma soma-de-produtos do Passo 4 (para ficar bem convincente):