Simplifique as seguintes expressões usando a álgebra booleana.
\mathrm{y}=\overline{(\mathrm{C}+\mathrm{D}})+\overline{\mathrm{A}} \mathrm{C} \overline{\mathrm{D}}+\mathrm{A} \overline{\mathrm{B}} \overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}} \overline{\mathrm{B}} \mathrm{CD}+\mathrm{AC} \overline{\mathrm{D}}

Passo 1

O enunciado pede: simplificar a expressão booleana dada. A expressão fornecida é (copiei exatamente do enunciado):
\mathrm{y}=\overline{(\mathrm{C}+\mathrm{D})}+\overline{\mathrm{A}}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}+\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\,\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}\,\mathrm{D}+\mathrm{A}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}.
O que se pede é transformar essa expressão em uma forma mais simples, usando identidades da álgebra booleana (De Morgan, leis de absorção, distributividade, etc.). Nada mais foi pedido além de simplificação.

Passo 2

Primeiro passo prático: aplicar a lei de De Morgan no primeiro termo \overline{(\mathrm{C}+\mathrm{D})}.
  • Identidade usada (De Morgan): para variáveis booleanas X e Y vale \overline{(X+Y)}=\overline{X}\,\overline{Y}. Aqui X=C e Y=D.
  • Aplicando:
\overline{(\mathrm{C}+\mathrm{D})}=\overline{\mathrm{C}}\,\overline{\mathrm{D}}.
Substituindo na expressão obtemos:
\mathrm{y}=\overline{\mathrm{C}}\,\overline{\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{A}}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}+\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\,\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}\,\mathrm{D}+\mathrm{A}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}.

Passo 3

Agora observe os termos que contêm \mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}: são \overline{\mathrm{A}}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}} e \mathrm{A}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}. Podemos somá-los:
  • Identidade usada (distributividade / complemento): para qualquer variável A, (\overline{A}+A)=1. Então \overline{A}C\overline{D}+AC\overline{D}=(\overline{A}+A)C\overline{D}=1\cdot C\overline{D}=C\overline{D}.
  • Aplicando isso, a expressão vira:
\mathrm{y}=\overline{\mathrm{C}}\,\overline{\mathrm{D}}+ \mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}+\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\,\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}\,\mathrm{D}.

Passo 4

Agrupe os dois primeiros termos: \overline{\mathrm{C}}\,\overline{\mathrm{D}}+\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}.
  • Identidade usada (fator comum e complemento): \overline{C}\,\overline{D}+C\,\overline{D}=(\overline{C}+C)\,\overline{D}=1\cdot\overline{D}=\overline{D}.
  • Portanto:
\mathrm{y}=\overline{\mathrm{D}}+\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\,\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}\,\mathrm{D}.
Expliquei: os dois primeiros termos diziam “D é zero e C pode ser 0 ou 1”, então juntando vira simplesmente “ \overline{D}”.

Passo 5

Trate o termo que contém D: \overline{\mathrm{A}}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}\,\mathrm{D}. Use a propriedade de soma com \overline{D}:
  • Identidade usada (absorção por soma com complemento): para qualquer expressão X e variável D vale \overline{D} + (X D) = \overline{D} + X D = \overline{D} + X D. Pela distributividade inversa \overline{D} + X D = (\overline{D}+X)(\overline{D}+D)=(\overline{D}+X)\cdot 1=\overline{D}+X. Intuitivamente: se \overline{D}=1 então soma já dá 1; se \overline{D}=0 então D=1 e então o valor fica X. Resultado final é \overline{D}+X.
  • Aqui X=\overline{A}\,\overline{B}\,C. Assim:
\overline{D}+\overline{A}\,\overline{B}\,C\,D=\overline{D}+\overline{A}\,\overline{B}\,C.
  • Substituindo na expressão:
\mathrm{y}=\overline{\mathrm{D}}+\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\,\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}.

Passo 6

Agora factoramos \overline{\mathrm{B}} nos dois últimos termos (ambos têm \overline{B}):
  • Identidade usada (distributividade): XY+XZ=X(Y+Z).
  • Aplicando:
\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\,\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}=\overline{\mathrm{B}}\big(\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}}\,\mathrm{C}\big).
Portanto:
\mathrm{y}=\overline{\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{B}}\big(\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}}\,\mathrm{C}\big).

Passo 7

Interprete o parêntese \mathrm{A}\,\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}}\,\mathrm{C}:
  • Essa expressão é a função XOR entre A e C: A\oplus C. Em palavras: é 1 quando A e C são diferentes.
  • Não há simplificação booleana mais direta que reduza \mathrm{A}\,\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}}\,\mathrm{C} para algo com menos literais sem introduzir operações não-AND/OR/NOT (a forma A\oplus C já é concisa). Para fins de expressão canônica, podemos manter a soma de produtos dentro do parêntese.
Então uma forma final simples e legível é:
\mathrm{y}=\overline{\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{B}}\big(\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}}\,\mathrm{C}\big).

Passo 8

Resumo das identidades principais usadas (rápido lembrete didático):
  • De Morgan: \overline{X+Y}=\overline{X}\,\overline{Y}.
  • Complemento: X+\overline{X}=1.
  • Distributividade: X Y + X Z = X (Y+Z).
  • Absorção com complemento: \overline{D}+D X=\overline{D}+X (ou visto como (\overline{D}+X)(\overline{D}+D)=\overline{D}+X).
    Essas são as ferramentas que usei passo a passo.

Resposta

\overline{\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{B}}\big(\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}}\,\mathrm{C}\big)

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