Simplifique as seguintes expressões usando a álgebra booleana.
\mathrm{x}=\mathrm{AB}(\overline{\mathrm{CD}})+\overline{\mathrm{A}} \mathrm{BD}+\overline{\mathrm{B}} \overline{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{D}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão booleana dada. As informações fornecidas são somente a expressão:
\mathrm{x}=\mathrm{AB}(\overline{\mathrm{CD}})+\overline{\mathrm{A}} \mathrm{BD}+\overline{\mathrm{B}} \overline{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{D}}.
A tarefa é transformar essa expressão em uma forma mais simples (mantendo a mesma função booleana), usando identidades da álgebra booleana.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: aplicar a lei de De Morgan em \overline{CD}. A lei diz que \overline{CD}=\overline{C}+\overline{D}. Assim:
\mathrm{AB}(\overline{CD})=\mathrm{AB}(\overline{C}+\overline{D})=\mathrm{AB}\,\overline{C}+\mathrm{AB}\,\overline{D}.
Substituindo na expressão original obtemos, ao expandir:
\mathrm{x}=\mathrm{AB}\,\overline{C}+\mathrm{AB}\,\overline{D}+\overline{\mathrm{A}}\mathrm{BD}+\overline{\mathrm{B}}\overline{\mathrm{C}}\overline{\mathrm{D}}.

Passo 3

Agora olhamos para possíveis simplificações por absorção/eliminação de termos redundantes. Uma estratégia prática é verificar se algum produto (termo) tem todos os seus mintermos já cobertos por outros termos — nesse caso é redundante e pode ser eliminado.
Observe o termo \mathrm{AB}\,\overline{C}. Podemos escrevê-lo como soma de dois mintermos usando D+\overline{D}=1:
\mathrm{AB}\,\overline{C}=\mathrm{AB}\,\overline{C}D+\mathrm{AB}\,\overline{C}\,\overline{D}.
Verifique cada um desses mintermos:
  • \mathrm{AB}\,\overline{C}D é coberto pelo termo \mathrm{BD}\,\overline{C} (pois \mathrm{BD}\,\overline{C} = \mathrm{AB}\,\overline{C}D + \overline{\mathrm{A}}\mathrm{B}\,\overline{C}D);
  • \mathrm{AB}\,\overline{C}\,\overline{D} é coberto por \mathrm{AB}\,\overline{D} (pois \mathrm{AB}\,\overline{D}=\mathrm{AB}C\overline{D}+\mathrm{AB}\,\overline{C}\,\overline{D}).
Como ambos os mintermos de \mathrm{AB}\,\overline{C} já aparecem entre os outros termos, \mathrm{AB}\,\overline{C} é redundante e pode ser removido sem alterar a função.

Passo 4

Removendo \mathrm{AB}\,\overline{C} ficamos com:
\mathrm{x}=\mathrm{AB}\,\overline{D}+\overline{\mathrm{A}}\mathrm{BD}+\mathrm{BD}\,\overline{C}+\overline{\mathrm{B}}\overline{\mathrm{C}}\overline{\mathrm{D}}.
Reescrevi \mathrm{BD}\,\overline{C} explicitamente porque \mathrm{AB}\,\overline{C}D e \overline{\mathrm{A}}\mathrm{B}\,\overline{C}D evidenciaram esse implicante.

Passo 5

Agrupamos termos que têm fatores comuns para compactar a expressão. Note que os três primeiros termos têm B em comum:
\mathrm{AB}\,\overline{D}+\overline{\mathrm{A}}\mathrm{BD}+\mathrm{BD}\,\overline{C} = B\bigl(A\overline{D}+\overline{A}D+D\overline{C}\bigr).
Portanto:
\mathrm{x}=B\bigl(A\overline{D}+\overline{A}D+D\overline{C}\bigr)+\overline{B}\overline{C}\overline{D}.

Passo 6

Dentro do parêntese podemos também agrupar os termos com D:
A\overline{D}+\overline{A}D+D\overline{C}=A\overline{D}+D(\overline{A}+\overline{C}).
Isto é apenas fatoração por D nos termos que o contêm. Assim:
\mathrm{x}=B\bigl(A\overline{D}+D(\overline{A}+\overline{C})\bigr)+\overline{B}\overline{C}\overline{D}.

Passo 7

Podemos voltar a expandir os parênteses se quisermos uma soma de produtos mais explícita; expandindo B sobre a soma obtemos:
\mathrm{x}=BA\overline{D}+B D\overline{A}+B D\overline{C}+\overline{B}\overline{C}\overline{D}.
Esta forma mostra os implicantes primos finais: BA\overline{D}, BD\overline{A}, BD\overline{C} e \overline{B}\overline{C}\overline{D}. Não há mais absorções imediatas entre esses termos (cada um cobre mintermos que não são todos cobertos pelos outros), então esta é uma forma simplificada razoável.

Passo 8

Comentário final e interpretação prática (rápida): a simplificação usada as identidades básicas:
  • De Morgan: \overline{CD}=\overline{C}+\overline{D},
  • distributiva e fatoração: XY(Z+W)=XYZ+XYW e X(Y+Z)=XY+XZ,
  • remoção de termo redundante quando todos os seus mintermos já são cobertos por outros termos (redundância/absorção).
A forma mais compacta com fator B está em:
\mathrm{x}=B\bigl(A\overline{D}+D(\overline{A}+\overline{C})\bigr)+\overline{B}\overline{C}\overline{D}.

Resposta

\mathrm{x}=B\bigl(A\overline{D}+D(\overline{A}+\overline{C})\bigr)+\overline{B}\overline{C}\overline{D}

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