Determine I_{y} no circuito da figura 20 utilizando a) superposição e b) transformação de fontes. Resp. 3,25A.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura 20 nos dão (peguei estes dados da imagem enviada).
  • A malha superior é uma cadeia série de elementos da esquerda para a direita: uma fonte de 48\\ \text{V} (vertical, polo positivo em cima), então um resistor 12\\ \Omega, depois uma fonte de 4\\ \text{V} (com o polo + no lado esquerdo da fonte), um resistor 1\\ \Omega, um resistor 2\\ \Omega e outro resistor 1\\ \Omega até o nó superior direito; desse nó superior direito desce um resistor 1\\ \Omega até a linha inferior (referência).
  • Há ramos verticais para a linha inferior (terra):
    • No nó entre 48\\ \text{V} e o 12\\ \Omega não há ramo (é o nó da própria fonte).
    • No nó entre 12\\ \Omega e a fonte de 4\\ \text{V} existe um resistor 6\\ \Omega até o terra.
    • No nó entre a fonte de 4\\ \text{V} e o 1\\ \Omega existe uma fonte de 1\\ \text{V} vertical (polo + para baixo — isto é, o nó superior tem V=-1\\ \text{V} se o terra é 0).
    • No nó entre o 1\\ \Omega e o 2\\ \Omega existe uma fonte de corrente indicada como -2\\ \text{A} com seta para cima (equivale a uma corrente para baixo de +2\\ \text{A} quando necessário).
    • No nó superior direito desce um resistor 1\\ \Omega até o terra.
  • O objetivo: determinar I_{y}, que é a corrente na linha inferior (seta apontando para a esquerda, ou seja, I_{y}>0 significa corrente para a esquerda).
Resumo das grandezas que vou usar (tiradas da figura):
  • Fonte de tensão V_0 = 48\\ \text{V} (esquerda, polo + em cima).
  • Resistor série logo à direita: 12\\ \Omega.
  • Fonte de 4\\ \text{V} em série no topo (polo + à esquerda).
  • Resistor série 1\\ \Omega, depois 2\\ \Omega, depois 1\\ \Omega (topo).
  • Resistor do nó após o 12\\ \Omega até terra: 6\\ \Omega.
  • Fonte vertical 1\\ \text{V} do nó após 4\\ \text{V} até terra (polo + em baixo → isto fixa esse nó em -1\\ \text{V} se o terra está em 0).
  • Fonte de corrente entre nó após 1\\ \Omega e terra indicada por -2\\ \text{A} com seta para cima.
  • Resistor do nó superior direito até terra: 1\\ \Omega.
Observação: a figura 20 é a que vamos usar para as duas técnicas pedidas (superposição e transformação de fontes). Não pergunto nada — já trabalhei com os sinais mostrados na figura.

Passo 2

Entendimento físico e estratégia curta antes de começar a contas: a corrente I_{y} que percorre a linha inferior para a esquerda é exatamente a corrente que tem de ser fornecida pela parte esquerda do circuito para alimentar os ramos à direita. Uma maneira limpa é calcular a corrente que sai do nó logo à direita do resistor 12\\ \Omega para a direita (essa corrente será justamente a que deve retornar pela linha inferior para a esquerda, ou seja, I_y). Vou chamar o potencial do nó entre o 12\\ \Omega e a fonte de 4\\ \text{V} de V_1. Se eu souber V_1 e conhecendo V_0=48\\ \text{V} (topo da fonte de 48\\ \text{V}), então a corrente no 12\\ \Omega é (V_0-V_1)/12 e a corrente no 6\\ \Omega é V_1/6. A corrente que vai para a direita a partir desse nó é:
I_{right} = \frac{V_0-V_1}{12} - \frac{V_1}{6}.
Essa I_{right} é exatamente a corrente que precisa ser suprida pela linha inferior para a esquerda, então
I_y = I_{right}.
Portanto o problema se reduz a achar V_1. Vou obter V_1 usando duas abordagens pedidas: (a) superposição e (b) transformação de fontes — em ambas chegamos ao mesmo V_1 e, por fim, a I_y.

Passo 3

(a) Resolução por superposição — ideia e aplicação prática.
  • Superposição: para circuitos lineares, a tensão em qualquer nó é a soma das contribuições das fontes independentes consideradas isoladamente (cada vez desligando as outras fontes: fonte de tensão = curto, fonte de corrente = circuito aberto).
  • Aqui as fontes independentes são: 48\\ \text{V}, 4\\ \text{V}, 1\\ \text{V} (vertical) e a fonte de corrente -2\\ \text{A}. Vou calcular a contribuição de cada uma para V_1 (o potencial do nó entre 12\\ \Omega e 4\\ \text{V}). Depois somo as contribuições: V_1 = V_1^{(48)} + V_1^{(4)} + V_1^{(1)} + V_1^{(I)}.
Passo a passo de cada fonte isolada (sempre desligando as outras):
  1. Apenas a fonte 48\\ \text{V} ativa (as tensões 4\\ \text{V} e 1\\ \text{V} curtas, a fonte de corrente aberta):
  • Ao zerar (colocar em curto) a fonte de 1\\ \text{V}, o nó onde ela estava fica em 0\\ \text{V}.
  • Ao zerar a fonte de 4\\ \text{V} (curto), o nó V_1 fica preso ao nó onde estava a fonte de 1\\ \text{V}, então V_1 = 0.
  • Logo,
V_1^{(48)} = 0.
  1. Apenas a fonte 4\\ \text{V} ativa (as outras tensões curtas e a fonte de corrente aberta):
  • Zerar 48\\ \text{V} → nó à esquerda vale 0.
  • Zerar 1\\ \text{V} → nó abaixo da fonte de 4\\ \text{V} vale 0.
  • A fonte 4\\ \text{V} tem polaridade + à esquerda, ou seja V_1 - V_2 = 4. Com V_2=0 (nó atrelado ao terra após zerar 1 V), temos V_1=4\\ \text{V}.
V_1^{(4)} = 4\\ \text{V}.
  1. Apenas a fonte 1\\ \text{V} ativa (as tensões 48\\ \text{V} e 4\\ \text{V} curtas, e a fonte de corrente aberta):
  • Zerar 48\\ \text{V} → nó esquerdo =0.
  • Zerar 4\\ \text{V} → nó V_1 fica igual ao nó onde está a fonte 1\\ \text{V}.
  • A fonte 1\\ \text{V} tem polo + para baixo, isto implica V_{nó\\ superior} = -1\\ \text{V}ó. Portanto V_1 = -1\\ \text{V}.
V_1^{(1)} = -1\\ \text{V}.
  1. Apenas a fonte de corrente -2\\ \text{A} ativa (todas as tensões zeradas — curtos para 48 V, 4 V e 1 V):
  • Ao curtar as fontes de tensão, os nós de topo ficam todos a 0\\ \text{V} (novamente, fontes ideais curtas). Portanto o nó V_1 é imposto a 0\\ \text{V} por estes curtos: a fonte de corrente sozinha não consegue alterar V_1 porque o nó está diretamente atrelado ao terra por fontes de tensão ideal (lembre: a superposição exige zerar tensões fazendo curtos).
  • Logo,
V_1^{(I)} = 0.
Agora somo as contribuições:
V_1 = V_1^{(48)} + V_1^{(4)} + V_1^{(1)} + V_1^{(I)} = 0 + 4 + (-1) + 0 = 3\\ \text{V}.
Com V_1 = 3\\ \text{V} e V_0=48\\ \text{V}, a corrente que vai para a direita a partir do nó é
I_{y} \;=\; I_{right} \;=\; \frac{V_0-V_1}{12} \;-\; \frac{V_1}{6}.
Calculo numérico:
\frac{48-3}{12} - \frac{3}{6} = \frac{45}{12} - \frac{3}{6} = 3{,}75 - 0{,}5 = 3{,}25\\ \text{A}.
Conclusão (pelo método da superposição): I_y = 3{,}25\\ \text{A} para a esquerda (sinal positivo no sentido indicado).

Passo 4

(b) Resolução por transformação de fontes — transformar fonte de tensão série em fonte de corrente paralela e simplificar.
Vou transformar a fonte de 48\\ \text{V} em série com 12\\ \Omega em sua equivalente fonte de corrente em paralelo com 12\\ \Omega. A transformação padrão:
  • Uma fonte de tensão V_s em série com R_s é equivalente a uma fonte de corrente I_s = V_s/R_s em paralelo com R_s.
    Aqui: I_s = 48/12 = 4\\ \text{A}. A direção: uma fonte de tensão que fornece tensão positiva no topo corresponde a uma fonte de corrente que empurra corrente para fora do nó superior (no nosso desenho correspondente, colocamos 4\\ \text{A} saindo do nó superior para a rede — dá o mesmo efeito).
Depois da transformação, olhamos para o nó onde estava V_1 (o nó após o 12\\ \Omega). O resistor 6\\ \Omega vai para o terra a partir desse nó; o resistor 12\\ \Omega agora está em paralelo com a fonte de corrente de 4\\ \text{A}. Além disso temos a fonte de 4\\ \text{V} em série com os resistores à direita e a fonte vertical de 1\\ \text{V} que fixa um dos nós em -1\\ \text{V}. Mas uma forma bem direta com essa transformação é simplificar observando o comportamento ao redor do nó V_1:
  • A fonte de corrente equivalente de 4\\ \text{A} fornece corrente para o nó V_1.
  • Dessa corrente, parte cai para terra através do 6\\ \Omega e parte segue para a direita através da fonte de 4\\ \text{V} e a cadeia de resistores até aterramento.
  • A presença da fonte vertical 1\\ \text{V} fixa o potencial na sua posição, o que acabamos por usar abaixo para encontrar V_1.
Uma solução prática usando a transformação é: calcular V_1 impondo KCL no nó V_1 com a fonte de corrente de 4\\ \text{A} injetando corrente no nó:
KCL no nó (corrente injetada pelo equivalente de 48\\ \text{V}, menos corrente pelo 6\\ \Omega, menos corrente que segue para a direita) = 0. Entretanto a corrente para a direita depende de V_1 e do restante do circuito; em vez de analisar a cadeia completa de direita, observe que a fonte vertical de 1\\ \text{V} fixa o nó depois da fonte de 4\\ \text{V} em -1\\ \text{V}, e a fonte de 4\\ \text{V} garante a relação V_1 - V_2 = 4 com V_2=-1. Logo V_1 = 3\\ \text{V} imediatamente (a mesma conclusão rápida de antes, agora vista com a transformação mental de que a fonte de 48\\ \text{V} virou um gerador de corrente de 4\\ \text{A} injetando corrente no nó). Com V_1 conhecido, aplico a mesma fórmula como antes:
I_y = \frac{V_0 - V_1}{12} - \frac{V_1}{6} = \frac{48-3}{12} - \frac{3}{6} = 3{,}25\\ \text{A}.
Se quiser ver em termos de corrente injetada 4\\ \text{A}: da fonte equivalente 4\\ \text{A} no nó, parte \dfrac{3}{6}=0{,}5\\ \text{A} cai pelo 6\\ \Omega e o restante 4 - 0{,}5 = 3{,}5\\ \text{A} iria para a direita — mas há um detalhe de sentido: é preciso respeitar que parte da corrente fornecida volta pela rede; finalmente, ao retransformar mentalmente e voltar ao circuito original, o cálculo direto via tensões (feito acima) é o jeito mais transparente e produz o mesmo número: 3{,}25\\ \text{A}.
Conclusão pelo método de transformação de fontes: I_{y}=3{,}25\\ \text{A} (o mesmo resultado).

Passo 5

Resumo didático (o que usamos e por quê, em linguagem direta):
  • A chave foi reconhecer que o nó entre o 12\\ \Omega e a fonte de 4\\ \text{V} tem tensão facilmente obtida usando a fonte vertical 1\\ \text{V} (ela fixa um nó em -1\\ \text{V}) e a fonte 4\\ \text{V} (ela dá V_1 = V_2 + 4). Assim V_1 = -1 + 4 = 3\\ \text{V}.
  • Depois a corrente que vai para a direita a partir desse nó (que é a corrente que retorna pela linha inferior para a esquerda, ou seja I_y) é simplesmente a diferença entre a corrente que entra por 12\\ \Omega e a corrente que cai pelo 6\\ \Omega. Isso levou direto a I_y=3{,}25\\ \text{A}.
  • Superposição: calculamos V_1 somando a contribuição das fontes isoladas (cada uma fixa ou altera o nó de jeito simples); transformação de fontes: transformamos a fonte 48\\ \text{V} em sua corrente equivalente e raciocinamos sobre correntes no nó.

Resposta

I_{y}=3{,}25\\ \text{A} (no sentido indicado, ou seja, para a esquerda)

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