Determine
no circuito da figura 20 utilizando a) superposição e b) transformação de fontes. Resp. 3,25A.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura 20 nos dão (peguei estes dados da imagem enviada).
- A malha superior é uma cadeia série de elementos da esquerda para a direita: uma fonte de
(vertical, polo positivo em cima), então um resistor , depois uma fonte de (com o polo + no lado esquerdo da fonte), um resistor , um resistor e outro resistor até o nó superior direito; desse nó superior direito desce um resistor até a linha inferior (referência). - Há ramos verticais para a linha inferior (terra):
- No nó entre
e o não há ramo (é o nó da própria fonte). - No nó entre
e a fonte de existe um resistor até o terra. - No nó entre a fonte de
e o existe uma fonte de vertical (polo + para baixo — isto é, o nó superior tem se o terra é ). - No nó entre o
e o existe uma fonte de corrente indicada como com seta para cima (equivale a uma corrente para baixo de quando necessário). - No nó superior direito desce um resistor
até o terra.
- No nó entre
- O objetivo: determinar
, que é a corrente na linha inferior (seta apontando para a esquerda, ou seja, significa corrente para a esquerda).
Resumo das grandezas que vou usar (tiradas da figura):
- Fonte de tensão
(esquerda, polo + em cima). - Resistor série logo à direita:
. - Fonte de
em série no topo (polo + à esquerda). - Resistor série
, depois , depois (topo). - Resistor do nó após o
até terra: . - Fonte vertical
do nó após até terra (polo + em baixo → isto fixa esse nó em se o terra está em ). - Fonte de corrente entre nó após
e terra indicada por com seta para cima. - Resistor do nó superior direito até terra:
.
Observação: a figura 20 é a que vamos usar para as duas técnicas pedidas (superposição e transformação de fontes). Não pergunto nada — já trabalhei com os sinais mostrados na figura.
Passo 2
Entendimento físico e estratégia curta antes de começar a contas: a corrente
que percorre a linha inferior para a esquerda é exatamente a corrente que tem de ser fornecida pela parte esquerda do circuito para alimentar os ramos à direita. Uma maneira limpa é calcular a corrente que sai do nó logo à direita do resistor
para a direita (essa corrente será justamente a que deve retornar pela linha inferior para a esquerda, ou seja,
). Vou chamar o potencial do nó entre o
e a fonte de
de
. Se eu souber
e conhecendo
(topo da fonte de
), então a corrente no
é
e a corrente no
é
. A corrente que vai para a direita a partir desse nó é:
Essa
é exatamente a corrente que precisa ser suprida pela linha inferior para a esquerda, então
Portanto o problema se reduz a achar
. Vou obter
usando duas abordagens pedidas: (a) superposição e (b) transformação de fontes — em ambas chegamos ao mesmo
e, por fim, a
.
Passo 3
(a) Resolução por superposição — ideia e aplicação prática.
- Superposição: para circuitos lineares, a tensão em qualquer nó é a soma das contribuições das fontes independentes consideradas isoladamente (cada vez desligando as outras fontes: fonte de tensão = curto, fonte de corrente = circuito aberto).
- Aqui as fontes independentes são:
, , (vertical) e a fonte de corrente . Vou calcular a contribuição de cada uma para (o potencial do nó entre e ). Depois somo as contribuições: .
Passo a passo de cada fonte isolada (sempre desligando as outras):
- Apenas a fonte
ativa (as tensões e curtas, a fonte de corrente aberta):
- Ao zerar (colocar em curto) a fonte de
, o nó onde ela estava fica em . - Ao zerar a fonte de
(curto), o nó fica preso ao nó onde estava a fonte de , então . - Logo,
- Apenas a fonte
ativa (as outras tensões curtas e a fonte de corrente aberta):
- Zerar
→ nó à esquerda vale . - Zerar
→ nó abaixo da fonte de vale . - A fonte
tem polaridade + à esquerda, ou seja . Com (nó atrelado ao terra após zerar 1 V), temos .
- Apenas a fonte
ativa (as tensões e curtas, e a fonte de corrente aberta):
- Zerar
→ nó esquerdo . - Zerar
→ nó fica igual ao nó onde está a fonte . - A fonte
tem polo + para baixo, isto implica . Portanto .
- Apenas a fonte de corrente
ativa (todas as tensões zeradas — curtos para 48 V, 4 V e 1 V):
- Ao curtar as fontes de tensão, os nós de topo ficam todos a
(novamente, fontes ideais curtas). Portanto o nó é imposto a por estes curtos: a fonte de corrente sozinha não consegue alterar porque o nó está diretamente atrelado ao terra por fontes de tensão ideal (lembre: a superposição exige zerar tensões fazendo curtos). - Logo,
Agora somo as contribuições:
Com
e
, a corrente que vai para a direita a partir do nó é
Calculo numérico:
Conclusão (pelo método da superposição):
para a esquerda (sinal positivo no sentido indicado).
Passo 4
(b) Resolução por transformação de fontes — transformar fonte de tensão série em fonte de corrente paralela e simplificar.
Vou transformar a fonte de
em série com
em sua equivalente fonte de corrente em paralelo com
. A transformação padrão:
- Uma fonte de tensão
em série com é equivalente a uma fonte de corrente em paralelo com .
Aqui:. A direção: uma fonte de tensão que fornece tensão positiva no topo corresponde a uma fonte de corrente que empurra corrente para fora do nó superior (no nosso desenho correspondente, colocamos saindo do nó superior para a rede — dá o mesmo efeito).
Depois da transformação, olhamos para o nó onde estava
(o nó após o
). O resistor
vai para o terra a partir desse nó; o resistor
agora está em paralelo com a fonte de corrente de
. Além disso temos a fonte de
em série com os resistores à direita e a fonte vertical de
que fixa um dos nós em
. Mas uma forma bem direta com essa transformação é simplificar observando o comportamento ao redor do nó
:
- A fonte de corrente equivalente de
fornece corrente para o nó . - Dessa corrente, parte cai para terra através do
e parte segue para a direita através da fonte de e a cadeia de resistores até aterramento. - A presença da fonte vertical
fixa o potencial na sua posição, o que acabamos por usar abaixo para encontrar .
Uma solução prática usando a transformação é: calcular
impondo KCL no nó
com a fonte de corrente de
injetando corrente no nó:
KCL no nó (corrente injetada pelo equivalente de , menos corrente pelo
, menos corrente que segue para a direita) = 0. Entretanto a corrente para a direita depende de
e do restante do circuito; em vez de analisar a cadeia completa de direita, observe que a fonte vertical de
fixa o nó depois da fonte de
em
, e a fonte de
garante a relação
com
. Logo
imediatamente (a mesma conclusão rápida de antes, agora vista com a transformação mental de que a fonte de
virou um gerador de corrente de
injetando corrente no nó). Com
conhecido, aplico a mesma fórmula como antes:
KCL no nó (corrente injetada pelo equivalente de
Se quiser ver em termos de corrente injetada
: da fonte equivalente
no nó, parte
cai pelo
e o restante
iria para a direita — mas há um detalhe de sentido: é preciso respeitar que parte da corrente fornecida volta pela rede; finalmente, ao retransformar mentalmente e voltar ao circuito original, o cálculo direto via tensões (feito acima) é o jeito mais transparente e produz o mesmo número:
.
Conclusão pelo método de transformação de fontes:
(o mesmo resultado).
Passo 5
Resumo didático (o que usamos e por quê, em linguagem direta):
- A chave foi reconhecer que o nó entre o
e a fonte de tem tensão facilmente obtida usando a fonte vertical (ela fixa um nó em ) e a fonte (ela dá ). Assim . - Depois a corrente que vai para a direita a partir desse nó (que é a corrente que retorna pela linha inferior para a esquerda, ou seja
) é simplesmente a diferença entre a corrente que entra por e a corrente que cai pelo . Isso levou direto a . - Superposição: calculamos
somando a contribuição das fontes isoladas (cada uma fixa ou altera o nó de jeito simples); transformação de fontes: transformamos a fonte em sua corrente equivalente e raciocinamos sobre correntes no nó.