Um reservatório de 900 litros contém ar comprimido a 4 atm manométricas, sendo temperatura de 38^{\circ} \mathrm{C}. Qual a massa de ar contido no reservatório? Qual a massa especifi. do ar nesse caso [S.I]? (dados: R = 8,314 \mathrm{~J} / \mathrm{K} . \mathrm{mol} : Mar =28,96 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ) ( 1,0 \mathrm{pt} )

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) a massa de ar contida no reservatório e (2) a massa específica (densidade) do ar em unidades do S.I.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como aparecem no enunciado):
  • Volume do reservatório: \;900\\ \mathrm{L}.
  • Pressão: \;4\\ \text{atm manométricas}é.
  • Temperatura: \;38^\circ\mathrm{C}.
  • Constante universal dos gases: \;R=8,314\\ \mathrm{J/(K\cdot mol)}.
  • Massa molar do ar: \;M_{ar}=28,96\\ \mathrm{g/mol}.
Observação importante sobre a pressão: “pressão manométrica” significa pressão gauge (acima da pressão atmosférica). Portanto a pressão absoluta a usar na lei dos gases é a soma da pressão atmosférica com a pressão manométrica. Vou tomar a pressão atmosférica como \;1\\ \mathrm{atm}, então a pressão absoluta será \;1+4=5\\ \mathrm{atm}. (Se o enunciado quisesse usar diretamente a pressão absoluta, teria dito “4 atm absolutas”.)

Passo 2

Vamos converter tudo para unidades S.I. (é obrigatório para usar a forma usual da lei dos gases).
  • Volume: \;900\\ \mathrm{L} = 900\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3} = 0,900\\ \mathrm{m^3}.
    Fórmula usada: \;1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^3}.
  • Pressão absoluta: \;5\\ \mathrm{atm}. Converter para pascal: \;1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}, logo p = 5\times101325\\ \mathrm{Pa} = 506625\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura: \;38^\circ\mathrm{C}. Converter para kelvin: \;T=38+273,15=311,15\\ \mathrm{K}.
    Fórmula: \;T(\mathrm{K})=T({}^\circ\mathrm{C})+273,15.
  • Massa molar do ar em S.I.: \;M_{ar}=28,96\\ \mathrm{g/mol}=0,02896\\ \mathrm{kg/mol}.
Agora temos: \;V=0,900\\ \mathrm{m^3}, \;p=506625\\ \mathrm{Pa}, \;T=311,15\\ \mathrm{K}, \;M=0,02896\\ \mathrm{kg/mol}.

Passo 3

Apresentando a fórmula que vamos usar e explicando cada termo (aulasinha rápida): a lei dos gases ideais é
pV = nRT,
onde
  • \;p é a pressão absoluta (em \mathrm{Pa}),
  • \;V é o volume (em \mathrm{m^3}),
  • \;n é o número de mols (em \mathrm{mol}),
  • \;R é a constante dos gases \;8,314\\ \mathrm{J/(K\cdot mol)},
  • \;T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
Relação entre massa \;m e número de mols \;n: \;n=\dfrac{m}{M}, onde \;M é a massa molar (kg/mol). Substituindo em pV=nRT obtemos uma fórmula direta para a massa:
pV = \frac{m}{M}RT \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{p\,V\,M}{R\,T}.
Essa fórmula é muito prática: pega pressão, volume, massa molar e temperatura e devolve diretamente a massa de gás.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com os valores convertidos. Reescrevendo:
m = \frac{p\,V\,M}{R\,T}.
Substituindo:
m = \frac{(506625\\ \mathrm{Pa})\cdot(0,900\\ \mathrm{m^3})\cdot(0,02896\\ \mathrm{kg/mol})}{8,314\\ \mathrm{J/(K\cdot mol)}\cdot 311,15\\ \mathrm{K}}.
Calcule passo a passo os termos do numerador e denominador.
Numerador:
pV M = 506625 \times 0,900 \times 0,02896 \approx 13204,67.
(Unidade: \mathrm{Pa\cdot m^3\cdot kg/mol}=\mathrm{J\cdot kg/mol}, compatível para dividir por R T.)
Denominador:
R T = 8,314 \times 311,15 \approx 2586,90\\ (\mathrm{J/mol}).
Agora a divisão:
m \approx \frac{13204,67}{2586,90} \approx 5,10\\ \mathrm{kg}.
Explanação do arredondamento: os dados originais têm, na prática, cerca de 2–3 algarismos significativos (por exemplo, \;4\\ \mathrm{atm} e \;900\\ \mathrm{L}), então um resultado com três algarismos significativos é razoável: \;5,10\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Agora calculamos a massa específica (densidade) do ar no reservatório, definida por \rho=\dfrac{m}{V}. Usando \;m\approx5,10\\ \mathrm{kg} e \;V=0,900\\ \mathrm{m^3}:
\rho = \frac{5,10\\ \mathrm{kg}}{0,900\\ \mathrm{m^3}} \approx 5,67\\ \mathrm{kg/m^3}.
Comentário prático: é esperado que essa densidade seja maior que a do ar ambiente (que a 1\\ \mathrm{atm} e 20^\circ\mathrm{C} é cerca de \;1,2\\ \mathrm{kg/m^3}), porque aqui a pressão absoluta é maior ( \;5\\ \mathrm{atm}), então há bem mais massa por volume.

Resposta

m = 5,10\\ \mathrm{kg}
\rho = 5,67\\ \mathrm{kg/m^3}

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