*** Projete um filtro passa-baixas RC de primeira ordem com uma frequência de corte de 1 kHz . Assuma um resistor de 1 \mathrm{k} \Omega e calcule o capacitor necessário.
  • Resposta: \mathrm{C} \approx 159 \mathrm{nF}.

Passo 1

O enunciado pede para projetar um filtro passa-baixas RC de primeira ordem com frequência de corte \,f_c=1\\ \mathrm{kHz}\, e diz para assumir um resistor de \,R=1\\ \mathrm{k}\Omega.
Informações dadas:
f_c = 1\\ \mathrm{kHz},\qquad R = 1\\ \mathrm{k}\Omega.
O que precisamos calcular: o valor do capacitor C que produz essa frequência de corte.

Passo 2

Fórmula básica que relaciona a frequência de corte ao circuito RC de primeira ordem:
f_c = \frac{1}{2\pi R C}.
Explicação didática das variáveis:
  • \,f_c é a frequência de corte em hertz (Hz). É o ponto onde a amplitude da saída caiu para 1/\sqrt{2} do valor em baixas frequências (também dito como queda de -3\\ \mathrm{dB}).
  • \,R é a resistência em ohms ( \Omega).
  • \,C é a capacitância em farads (F).
    Também é útil lembrar a constante de tempo do circuito:
\tau = R C,
e que isso se relaciona com a frequência de corte por
f_c = \frac{1}{2\pi \tau}.

Passo 3

Isolamos C a partir da fórmula de f_c. Partindo de
f_c = \frac{1}{2\pi R C},
multiplicamos ambos os lados por 2\pi R C e dividimos por f_c para obter:
C = \frac{1}{2\pi R f_c}.
Este é o passo algébrico simples: isolamos a incógnita C.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos, convertendo unidades para o sistema SI (ohm e hertz):
R = 1\\ \mathrm{k}\Omega = 1000\\ \Omega, \qquad f_c = 1\\ \mathrm{kHz} = 1000\\ \mathrm{Hz}.
Substituindo em
C = \frac{1}{2\pi R f_c},
temos
C = \frac{1}{2\pi \cdot 1000 \cdot 1000}.

Passo 5

Calculemos o denominador e o resultado numérico passo a passo:
2\pi \cdot 1000 \cdot 1000 = 2\pi \cdot 10^{6} \approx 6,2831853\times 10^{6}.
Tomando o inverso,
C \approx \frac{1}{6,2831853\times 10^{6}}\\ \mathrm{F} \approx 1,5915494\times 10^{-7}\\ \mathrm{F}.
Convertendo para nanofarads ( 1\\ \mathrm{F}=10^{9}\\ \mathrm{nF}):
C \approx 1,5915494\times 10^{-7}\\ \mathrm{F} = 159,15494\\ \mathrm{nF}.
Arredondando de forma prática para três algarismos significativos:
C \approx 159\\ \mathrm{nF}.

Passo 6

Verificação rápida usando a constante de tempo:
\tau = R C = 1000\\ \Omega \times 1,5915\times 10^{-7}\\ \mathrm{F} \approx 1,5915\times 10^{-4}\\ \mathrm{s} = 159,15\\ \mu\mathrm{s}.
E confirmando a relação inversa:
f_c = \frac{1}{2\pi \tau} \approx \frac{1}{2\pi \times 1,5915\times 10^{-4}}\\ \mathrm{Hz} \approx 1000\\ \mathrm{Hz},
ou seja, bate com o valor desejado.

Passo 7

Notas práticas (rápidas e úteis para a prova):
  • Em projeto real escolha um capacitor com valor comercial próximo (por ex. 150\\ \mathrm{nF} ou 160\\ \mathrm{nF} dependendo da série E12/E24) e considere a tolerância do componente; isso deslocará um pouco f_c.
  • Se precisar de precisão, ajuste R em conjunto com C ou use um capacitor com baixa tolerância (±1% a ±5%).
  • Na prova: memorize a fórmula f_c = 1/(2\pi R C) e o procedimento de isolar C; os cálculos são diretos.

Resposta

\mathrm{C}\approx 159\\ \mathrm{nF}

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