O implante coclear é recomendado para pacientes que sofrem de surdez por causa do mau funcionamento das células da cóclea, situada no ouvido interno (Loeb, 1985). O implante coclear se baseia no fato de que muitas fibras nervosas do sistema auditivo permanecem intactas em pacientes com esse tipo de perda de audição. A transmissão de sinais elétricos do microfone para as células nervosas pode ser representada pela função:
O pedido é: obter o gráfico da amplitude (ou seja, a magnitude) de H(j\omega) em função da frequência \omega (normalmente em rad/s). Não há outras restrições no enunciado, então vou:
explicar como obter |H(j\omega)| passo a passo;
mostrar como fazer um esboço assimptótico (Bode magnitude) para compreender o formato;
calcular alguns pontos numéricos importantes;
fornecer um código (Python/Matplotlib) que gera o gráfico exato para você rodar rapidamente e ver o plot.
Passo 2
Substituição fundamental: para achar a amplitude, usamos s=j\omega. Explicando a ideia (aula rápida): quando s=j\omega cada fator do tipo \frac{s}{\omega_c}+1 vira j\frac{\omega}{\omega_c}+1, que é um número complexo cuja magnitude é
Explicando cada termo: o numerador vem do zero (fator \frac{s}{50}+1); o denominador vem dos três polos (fatores \frac{s}{2}+1,\\ \frac{s}{20}+1,\\ \frac{s}{80}+1). O multiplicador 10 é o ganho DC multiplicativo.
Passo 3
Vamos entender o comportamento qualitativo (esboço de Bode magnitude) antes de calcular pontos:
Frequências de quebra (corner / pole-zero frequencies) são obtidas por igualar cada fator a zero real: para \frac{s}{2}+1 a frequência é \omega=2 rad/s; para \frac{s}{20}+1 é \omega=20 rad/s; para a zero \frac{s}{50}+1 é \omega=50 rad/s; para \frac{s}{80}+1 é \omega=80 rad/s.
Ordenando: \omega=2,\;20,\;50,\;80 (rad/s).
Efeito assintótico em dB/dec:
Um pólo de 1ª ordem contribui com -20\\ \text{dB/dec} acima da sua frequência de quebra;
Um zero de 1ª ordem contribui com +20\\ \text{dB/dec} acima da sua quebra.
Ganho em \omega\to0 (DC): substituindo \omega=0 na expressão de magnitude dá \left|H(j0)\right|=10. Em decibéis:
20\log_{10}(10)=20{,}0\\ \text{dB}.
Sinalizando as mudanças de inclinação:
Para \omega<2: inclinação 0\\ \text{dB/dec} (plano).
Entre 2 e 20: um pólo ativo \Rightarrow inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
Entre 20 e 50: dois polos ativos \Rightarrow inclinação -40\\ \text{dB/dec}.
Entre 50 e 80: dois polos e um zero ativos \Rightarrow inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
Para \omega>80: três polos e um zero ativos \Rightarrow inclinação -40\\ \text{dB/dec}.
Esse é o esqueleto do gráfico de amplitude (Bode magnitude assimptótico). Agora vamos dar números exatos em pontos representativos para desenhar com mais precisão.
Passo 4
Fórmula prática para cálculo numérico (repetindo para ficar claro):
Cálculo manual em pontos importantes (mostro as contas aproximadas para que você possa repetir na prova; usei aproximações razoáveis, sem calculadora complexa, só operações simples e raízes conhecidas quando possível):
Vou calcular \left|H(j\omega)\right| e depois 20\log_{10}(\cdot) nos pontos \omega=0{,}1,\;1,\;2,\;5,\;20,\;50,\;80,\;200,\;1000 (rad/s).
\omega=0{,}1:
Numerador \sqrt{1+(0{,}1/50)^2}\approx1{,}000002.
Denominador \approx1{,}001263 (produto de termos próximos de 1).
Esses pontos dão uma boa ideia do perfil: começa em +20\\ \text{dB} em DC, cai com inclinação próxima de -20\\ \text{dB/dec} após \omega=2, fica mais íngreme após \omega=20, recebe um “alívio” (aumenta a inclinação em +20 dB/dec relativa) no zero de \omega=50, e volta a cair mais acentuadamente após \omega=80.
Passo 6
Como traçar o gráfico (passo a passo prático):
Em um papel semilog ou num software, escolha eixo horizontal logarítmico em \omega (rad/s), cobrindo por exemplo 0{,}1 a 10^4.
Marque os pontos de quebra: 2,\;20,\;50,\;80.
Desenhe a linha horizontal em 20\\ \text{dB} para \omega<2.
A partir de \omega=2, continue com inclinação -20\\ \text{dB/dec} até \omega=20.
Depois de \omega=20, mude a inclinação para -40\\ \text{dB/dec} até \omega=50.
Em \omega=50 aplique +20 dB/dec (de modo que a inclinação passe para -20\\ \text{dB/dec} entre 50 e 80).
Após \omega=80 a inclinação passa para -40\\ \text{dB/dec}.
Sobre esse esqueleto assimptótico coloque os pontos numéricos que calculei (Passo 5) para ajustar a curvatura real (as verdadeiras curvas não são linhas retas nos cantos).
Passo 7
Se quiser o gráfico exato sem desenhar à mão, rode este código Python (gera o gráfico de amplitude em dB versus \omega em escala log), ou cole num Octave/MATLAB com pequenas adaptações. Ele plota |H(j\omega)| em dB e também mostra as frequências de quebra para orientação.
Resposta
# Código Python para plotar a amplitude |H(jw)| em dB (usa numpy e matplotlib)import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# função de transferência em jwdefH_mag(omega):
# omega pode ser array
num = 10.0 * np.sqrt(1.0 + (omega/50.0)**2)
den = np.sqrt(1.0 + (omega/2.0)**2) * np.sqrt(1.0 + (omega/20.0)**2) * np.sqrt(1.0 + (omega/80.0)**2)
return num / den
# vetor de frequências (rad/s) em escala log
w = np.logspace(-1, 4, 2000) # de 0.1 a 1e4 rad/s
mag = H_mag(w)
mag_db = 20.0 * np.log10(mag)
# plot
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.semilogx(w, mag_db, label='Magnitude |H(jω)| (dB)', linewidth=2)
# marcar frequências de quebrafor wc in [2, 20, 50, 80]:
plt.axvline(wc, color='gray', linestyle='--', linewidth=0.8)
plt.text(wc*1.05, plt.ylim()[0]+3, f'ω={wc}', rotation=90, va='bottom', fontsize=8)
plt.grid(which='both', linestyle='--', linewidth=0.5)
plt.xlabel('ω (rad/s)')
plt.ylabel('Magnitude (dB)')
plt.title('Diagrama de magnitude de H(jω)')
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()