O implante coclear é recomendado para pacientes que sofrem de surdez por causa do mau funcionamento das células da cóclea, situada no ouvido interno (Loeb, 1985). O implante coclear se baseia no fato de que muitas fibras nervosas do sistema auditivo permanecem intactas em pacientes com esse tipo de perda de audição. A transmissão de sinais elétricos do microfone para as células nervosas pode ser representada pela função:
H(s)=\frac{10\left(\frac{s}{50}+1\right)}{\left(\frac{s}{2}+1\right)\left(\frac{s}{20}+1\right)\left(\frac{s}{80}+1\right)}
Plote o gráfico de amplitude da função de transferência.

Passo 1

O enunciado pede que eu (você pediu para eu) plote o gráfico de amplitude da função de transferência dada. Informações fornecidas:
H(s)=\frac{10\left(\frac{s}{50}+1\right)}{\left(\frac{s}{2}+1\right)\left(\frac{s}{20}+1\right)\left(\frac{s}{80}+1\right)}
O pedido é: obter o gráfico da amplitude (ou seja, a magnitude) de H(j\omega) em função da frequência \omega (normalmente em rad/s). Não há outras restrições no enunciado, então vou:
  • explicar como obter |H(j\omega)| passo a passo;
  • mostrar como fazer um esboço assimptótico (Bode magnitude) para compreender o formato;
  • calcular alguns pontos numéricos importantes;
  • fornecer um código (Python/Matplotlib) que gera o gráfico exato para você rodar rapidamente e ver o plot.

Passo 2

Substituição fundamental: para achar a amplitude, usamos s=j\omega. Explicando a ideia (aula rápida): quando s=j\omega cada fator do tipo \frac{s}{\omega_c}+1 vira j\frac{\omega}{\omega_c}+1, que é um número complexo cuja magnitude é
\left|1+j\frac{\omega}{\omega_c}\right|=\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^2}.
Aplicando isso a todo H(s), obtemos a expressão exata da magnitude:
\left|H(j\omega)\right| =10\cdot\frac{\sqrt{1+\left(\dfrac{\omega}{50}\right)^2}} {\sqrt{1+\left(\dfrac{\omega}{2}\right)^2}\, \sqrt{1+\left(\dfrac{\omega}{20}\right)^2}\, \sqrt{1+\left(\dfrac{\omega}{80}\right)^2}}.
Explicando cada termo: o numerador vem do zero (fator \frac{s}{50}+1); o denominador vem dos três polos (fatores \frac{s}{2}+1,\\ \frac{s}{20}+1,\\ \frac{s}{80}+1). O multiplicador 10 é o ganho DC multiplicativo.

Passo 3

Vamos entender o comportamento qualitativo (esboço de Bode magnitude) antes de calcular pontos:
  • Frequências de quebra (corner / pole-zero frequencies) são obtidas por igualar cada fator a zero real: para \frac{s}{2}+1 a frequência é \omega=2 rad/s; para \frac{s}{20}+1 é \omega=20 rad/s; para a zero \frac{s}{50}+1 é \omega=50 rad/s; para \frac{s}{80}+1 é \omega=80 rad/s.
  • Ordenando: \omega=2,\;20,\;50,\;80 (rad/s).
  • Efeito assintótico em dB/dec:
    • Um pólo de 1ª ordem contribui com -20\\ \text{dB/dec} acima da sua frequência de quebra;
    • Um zero de 1ª ordem contribui com +20\\ \text{dB/dec} acima da sua quebra.
  • Ganho em \omega\to0 (DC): substituindo \omega=0 na expressão de magnitude dá \left|H(j0)\right|=10. Em decibéis:
20\log_{10}(10)=20{,}0\\ \text{dB}.
  • Sinalizando as mudanças de inclinação:
    • Para \omega<2: inclinação 0\\ \text{dB/dec} (plano).
    • Entre 2 e 20: um pólo ativo \Rightarrow inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
    • Entre 20 e 50: dois polos ativos \Rightarrow inclinação -40\\ \text{dB/dec}.
    • Entre 50 e 80: dois polos e um zero ativos \Rightarrow inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
    • Para \omega>80: três polos e um zero ativos \Rightarrow inclinação -40\\ \text{dB/dec}.
Esse é o esqueleto do gráfico de amplitude (Bode magnitude assimptótico). Agora vamos dar números exatos em pontos representativos para desenhar com mais precisão.

Passo 4

Fórmula prática para cálculo numérico (repetindo para ficar claro):
\left|H(j\omega)\right| =10\cdot\frac{\sqrt{1+\left(\dfrac{\omega}{50}\right)^2}} {\sqrt{1+\left(\dfrac{\omega}{2}\right)^2}\, \sqrt{1+\left(\dfrac{\omega}{20}\right)^2}\, \sqrt{1+\left(\dfrac{\omega}{80}\right)^2}}.
Se for útil para leitura em prova: para obter a magnitude em decibéis usa-se
20\log_{10}\!\left(\left|H(j\omega)\right|\right).
Lembrando: \log_{10} é o logaritmo decimal.

Passo 5

Cálculo manual em pontos importantes (mostro as contas aproximadas para que você possa repetir na prova; usei aproximações razoáveis, sem calculadora complexa, só operações simples e raízes conhecidas quando possível):
Vou calcular \left|H(j\omega)\right| e depois 20\log_{10}(\cdot) nos pontos \omega=0{,}1,\;1,\;2,\;5,\;20,\;50,\;80,\;200,\;1000 (rad/s).
  • \omega=0{,}1:
    • Numerador \sqrt{1+(0{,}1/50)^2}\approx1{,}000002.
    • Denominador \approx1{,}001263 (produto de termos próximos de 1).
    • \left|H\right|\approx9{,}99\Rightarrow 20\log_{10}\approx20{,}0\\ \text{dB}.
  • \omega=1:
    • \left|H\right|\approx8{,}94\Rightarrow 20\log_{10}\approx19{,}0\\ \text{dB}.
  • \omega=2 (polo em 2):
    • \left|H\right|\approx7{,}04\Rightarrow 20\log_{10}\approx16{,}9\\ \text{dB}.
  • \omega=5:
    • \left|H\right|\approx3{,}62\Rightarrow 20\log_{10}\approx11{,}2\\ \text{dB}.
  • \omega=20 (polo em 20):
    • \left|H\right|\approx0{,}736\Rightarrow 20\log_{10}\approx-2{,}66\\ \text{dB}.
  • \omega=50 (zero em 50):
    • \left|H\right|\approx0{,}177\Rightarrow 20\log_{10}\approx-15{,}0\\ \text{dB}.
  • \omega=80 (polo em 80):
    • \left|H\right|\approx0{,}0809\Rightarrow 20\log_{10}\approx-21{,}8\\ \text{dB}.
  • \omega=200:
    • \left|H\right|\approx0{,}0152\Rightarrow 20\log_{10}\approx-36{,}3\\ \text{dB}.
  • \omega=1000:
    • \left|H\right|\approx6{,}39\times10^{-4}\Rightarrow 20\log_{10}\approx-63{,}9\\ \text{dB}.
Esses pontos dão uma boa ideia do perfil: começa em +20\\ \text{dB} em DC, cai com inclinação próxima de -20\\ \text{dB/dec} após \omega=2, fica mais íngreme após \omega=20, recebe um “alívio” (aumenta a inclinação em +20 dB/dec relativa) no zero de \omega=50, e volta a cair mais acentuadamente após \omega=80.

Passo 6

Como traçar o gráfico (passo a passo prático):
  1. Em um papel semilog ou num software, escolha eixo horizontal logarítmico em \omega (rad/s), cobrindo por exemplo 0{,}1 a 10^4.
  2. Marque os pontos de quebra: 2,\;20,\;50,\;80.
  3. Desenhe a linha horizontal em 20\\ \text{dB} para \omega<2.
  4. A partir de \omega=2, continue com inclinação -20\\ \text{dB/dec} até \omega=20.
  5. Depois de \omega=20, mude a inclinação para -40\\ \text{dB/dec} até \omega=50.
  6. Em \omega=50 aplique +20 dB/dec (de modo que a inclinação passe para -20\\ \text{dB/dec} entre 50 e 80).
  7. Após \omega=80 a inclinação passa para -40\\ \text{dB/dec}.
  8. Sobre esse esqueleto assimptótico coloque os pontos numéricos que calculei (Passo 5) para ajustar a curvatura real (as verdadeiras curvas não são linhas retas nos cantos).

Passo 7

Se quiser o gráfico exato sem desenhar à mão, rode este código Python (gera o gráfico de amplitude em dB versus \omega em escala log), ou cole num Octave/MATLAB com pequenas adaptações. Ele plota |H(j\omega)| em dB e também mostra as frequências de quebra para orientação.

Resposta

# Código Python para plotar a amplitude |H(jw)| em dB (usa numpy e matplotlib)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# função de transferência em jw
def H_mag(omega):
    # omega pode ser array
    num = 10.0 * np.sqrt(1.0 + (omega/50.0)**2)
    den = np.sqrt(1.0 + (omega/2.0)**2) * np.sqrt(1.0 + (omega/20.0)**2) * np.sqrt(1.0 + (omega/80.0)**2)
    return num / den

# vetor de frequências (rad/s) em escala log
w = np.logspace(-1, 4, 2000)  # de 0.1 a 1e4 rad/s
mag = H_mag(w)
mag_db = 20.0 * np.log10(mag)

# plot
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.semilogx(w, mag_db, label='Magnitude |H(jω)| (dB)', linewidth=2)
# marcar frequências de quebra
for wc in [2, 20, 50, 80]:
    plt.axvline(wc, color='gray', linestyle='--', linewidth=0.8)
    plt.text(wc*1.05, plt.ylim()[0]+3, f'ω={wc}', rotation=90, va='bottom', fontsize=8)
plt.grid(which='both', linestyle='--', linewidth=0.5)
plt.xlabel('ω (rad/s)')
plt.ylabel('Magnitude (dB)')
plt.title('Diagrama de magnitude de H(jω)')
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

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