Projete um filtro ativo passa-baixas com uma frequência de corte de 2.500 Hz e um ganho na faixa de passagem de 5 , usando um capacitor de 10 nF .
a) Desenhe o circuito identificando os valores dos componentes e a tensão de saída.
b) Se o valor do resistor de realimentação for mudado, mas o valor do resistor de entrada permanecer inalterado, qual característica do filtro será mudada?

Passo 1

Dados fornecidos e o que o enunciado pede:
  • Frequência de corte desejada: \,f_c = 2{,}500\\ \text{Hz}.
  • Ganho na faixa de passagem desejado: 5 (ou seja, ganho de tensão igual a 5 na banda passante).
  • Capacitor disponível: C = 10\\ \text{nF}.
  • Pedido (a): projetar um circuito de filtro ativo passa-baixas e desenhá‑lo (identificar valores dos componentes e a tensão de saída).
  • Pedido (b): se o resistor de realimentação for alterado enquanto o resistor de entrada permanece o mesmo, qual característica do filtro muda?
Passo seguinte: vou projetar um circuito prático, mostrar as contas passo a passo e explicar o porquê de cada escolha, sem pular etapas.

Passo 2

Escolha da topologia e justificativa (sem cálculos ainda):
Vou usar uma solução simples, robusta e muito ensinada em graduação: um filtro passa-baixas de primeira ordem formado por um estágio RC passivo seguido por um amplificador não inversor com ganho igual a 5. Motivos para essa escolha (curto e prático):
  • A rede RC determina a frequência de corte \,f_c de forma direta e simples com a fórmula clássica \,f_c = \dfrac{1}{2\pi R C}.
  • O amplificador não inversor fornece o ganho na faixa de passagem sem alterar (significativamente) o pólo determinado pelo RC, desde que o amplificador tenha entrada de alta impedância e seja usado como buffer/ganho. Assim fica fácil ajustar f_c e o ganho separadamente — isso facilita responder a (b).
  • É uma topologia básica, com só um op‑amp, fácil de implementar em prova e em bancada.
Agora vou ensinar a teoria do RC e do amplificador não inversor e aplicar aos números do enunciado.

Passo 3

Aula rápida sobre o filtro RC passa‑baixas (passivo):
  • Um filtro RC passa‑baixas de primeira ordem no arranjo série-resistor / capacitor-para-terra tem a seguinte configuração: a fonte entra em série em um resistor R; o nó entre R e C é a saída do estágio passivo; o capacitor C vai desse nó ao terra. O op‑amp virá depois como amplificador de ganho.
  • A função de transferência (passiva, sem amplificação) do RC é
H_{RC}(j\omega)=\frac{1}{1 + j\omega R C},
onde \omega = 2\pi f.
  • A frequência de corte (ponto em que a magnitude cai para 1/\sqrt{2} do ganho em baixas frequências) é dada por
f_c = \frac{1}{2\pi R C}.
  • Aqui, R é o resistor em série e C é o capacitor para terra. Todas as variáveis usadas estão explicitadas.

Passo 4

Calcular o valor de R a partir de \,f_c = 2{,}500\\ \text{Hz} e C = 10\\ \text{nF}.
Usamos a fórmula
R=\frac{1}{2\pi f_c C}.
Substituindo os valores (lembrando que 10\\ \text{nF}=10\times10^{-9}\\ \text{F}):
R=\frac{1}{2\pi\cdot 2{,}500\cdot 10\times10^{-9}}.
Vamos calcular passo a passo:
  • 2\pi\cdot 2{,}500 = 2\pi\cdot 2{,}500 \approx 15{,}707{,}96.
  • Multiplicando por 10\times10^{-9}=1\times10^{-8} 15{,}707{,}96\times10^{-8}=1{,}570796\times10^{-4}.
  • Invertendo:
R \approx \frac{1}{1{,}570796\times10^{-4}}\approx 6{,}366{,}2\\ \Omega.
Arredondando convenientemente:
R \approx 6{,}366\\ \Omega \quad\text{(ou }6{,}366\\ \text{k}\Omega\text{)}.
Para a prática, escolhe‑se um valor comercial próximo (ver passo seguinte).

Passo 5

Escolha de valores comerciais e efeito no \,f_c:
  • Valor exato da conta: R \approx 6{,}366\\ \text{k}\Omega.
  • Valores práticos E24/E12 próximos: \,6{,}2\\ \text{k}\Omega ou \,6{,}8\\ \text{k}\Omega.
    • Se usar R=6{,}2\\ \text{k}\Omega: a nova \,f_c será
    f_c=\frac{1}{2\pi\cdot 6{,}2\times10^{3}\cdot 10\times10^{-9}}\approx 2{,}568\\ \text{Hz}.
    • Se usar R=6{,}8\\ \text{k}\Omega:
    f_c\approx\frac{1}{2\pi\cdot 6{,}8\times10^{3}\cdot 10\times10^{-9}}\approx 2{,}338\\ \text{Hz}.
  • Conclusão: 6{,}2\\ \text{k}\Omega deixa f_c um pouco acima de 2{,}500\\ \text{Hz}, e 6{,}8\\ \text{k}\Omega um pouco abaixo. Se for necessária precisão, usar R=6{,}36\\ \text{k}\Omega (valor de precisão) ou montar com dois resistores em série/paralelo para ajustar ao valor exato.

Passo 6

Aula rápida sobre o amplificador não inversor e escolha dos resistores de realimentação:
  • A fórmula do ganho em malha aberta do amplificador não inversor (configuração clássica com dois resistores R_f e R_g, onde R_f vai do saída ao terminal negativo e R_g vai do terminal negativo ao terra) é:
A_v = 1 + \frac{R_f}{R_g}.
  • Aqui A_v é o ganho de tensão (em baixa frequência, dentro da faixa passante do RC), R_f é o resistor de realimentação (do output para o negativo), R_g é o resistor entre o negativo e o terra.
  • Queremos A_v = 5. Então
1 + \frac{R_f}{R_g} = 5 \quad\Rightarrow\quad \frac{R_f}{R_g}=4.
  • Podemos escolher um par de resistores práticos que satisfaça essa razão. Exemplos comuns e convenientes:
    • R_g = 10\\ \text{k}\Omega e R_f = 40\\ \text{k}\Omega.
    • Ou R_g = 1\\ \text{k}\Omega e R_f = 4\\ \text{k}\Omega.
  • Recomenda-se normalmente escolher R_g na faixa de algumas centenas de ohms a algumas dezenas de kiloohms (por questões de ruído, consumo e entrada bias do op‑amp). 10\\ \text{k}\Omega / 40\\ \text{k}\Omega é uma escolha equilibrada.

Passo 7

Função de transferência do sistema e verificação do comportamento:
  • O estágio RC introduz a função de transferência
H_{RC}(s)=\frac{1}{1 + s R C},
onde s=j\omega.
  • O amplificador não inversor multiplica essa resposta por A_v (assumindo que o op‑amp tem largura de banda suficiente e entrada de alta impedância), logo a função total é
H_{tot}(s)=A_v\cdot\frac{1}{1 + s R C}.
  • No regime de baixas frequências ( f\ll f_c) a magnitude é aproximadamente A_v. Em f=f_c a magnitude cai para A_v/\sqrt{2}.
  • Com os valores escolhidos:
    • C=10\\ \text{nF}.
    • R \approx 6{,}366\\ \text{k}\Omega (ou escolha comercial próxima, por ex. 6{,}2\\ \text{k}\Omega ou 6{,}8\\ \text{k}\Omega).
    • R_g = 10\\ \text{k}\Omega, R_f = 40\\ \text{k}\Omega para A_v=5.

Passo 8

Desenho do circuito (descrição textual suficiente para provas / bancada):
  • Entrada: V_{in} (fonte de sinal).
  • Série com R: V_{in} conectado a um resistor R (calculado em passo 4), do outro extremo de R sai um nó que chamamos de V_{node}.
  • Capacitor C: do nó V_{node} ao terra conecta‑se C = 10\\ \text{nF}.
  • Entrada não inversora do op‑amp: o nó V_{node} é ligado à entrada (+) do op‑amp (entrada não inversora).
  • Rede de realimentação no lado negativo do op‑amp:
    • R_f entre saída V_{out} e entrada (-) do op‑amp.
    • R_g entre entrada (-) e terra.
  • Saída: V_{out} é a saída do op‑amp; é a tensão de saída do filtro cujo ganho em baixas frequências é A_v=5.
  • Valores recomendados finais (uma opção prática):
    • C = 10\\ \text{nF}.
    • R = 6{,}36\\ \text{k}\Omega (ou escolha comercial \,6{,}2\\ \text{k}\Omega para f_c\approx 2{,}568\\ \text{Hz} ou \,6{,}8\\ \text{k}\Omega para f_c\approx 2{,}338\\ \text{Hz}).
    • R_g = 10\\ \text{k}\Omega, R_f = 40\\ \text{k}\Omega.
  • Observação prática: escolher um op‑amp com GBW (gain‑bandwidth product) suficientemente maior que A_v\cdot f_c (regra prática: GBW pelo menos 10\times a A_v f_c) para que a resposta no passa‑baixo não seja afetada pela limitação de banda do op‑amp.

Passo 9

Resposta à pergunta (b) — explicação didática:
  • Nessa topologia (RC passivo seguido por amplificador não inversor), o resistor de realimentação R_f faz parte apenas da rede que determina o ganho em malha fechada do op‑amp, através da razão 1 + R_f/R_g.
  • Portanto, se o valor de R_f for alterado enquanto R_g e o resistor do RC (o R em série com C) permanecerem fixos, a característica que muda é o ganho em faixa passante A_v.
  • A frequência de corte \,f_c NÃO muda porque ela é determinada pelo par R (do estágio RC) e C, via \,f_c=1/(2\pi R C); R_f não participa desse polo.
  • Resumindo: mudando R_f (com R_g e R constantes) muda o ganho estabilizado A_v; o \,f_c permanece o mesmo.

Resposta

(a) Um projeto prático: usar um estágio RC passivo seguido por um amplificador não inversor com ganho 5. Valores recomendados:
  • C=10\\ \text{nF}.
  • R=\dfrac{1}{2\pi f_c C}\approx 6{,}366\\ \text{k}\Omega (usar valor comercial próximo, ex.: 6{,}2\\ \text{k}\Omega ou 6{,}8\\ \text{k}\Omega).
  • Rede de realimentação do op‑amp para A_v=5: R_g=10\\ \text{k}\Omega e R_f=40\\ \text{k}\Omega.
    O circuito: V_{in}\rightarrow R\rightarrow \rightarrow C ao terra; nó ligado à entrada + do op‑amp; R_f entre V_{out} e entrada -; R_g entre entrada - e terra; V_{out} é a tensão de saída do filtro.
    (b) Mudando apenas o resistor de realimentação ( R_f), altera‑se o ganho em faixa passante A_v (pois A_v=1+R_f/R_g); a frequência de corte f_c (determinada por R e C) não é alterada.

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