Projete um toco curto-circuitado para casar uma LT de 100 \Omega a uma carga de 50 \Omega. Determine a posição e o comprimento do toco.

Passo 1

O enunciado pede: projetar um toco curto-circuitado (stub em derivação, curto na extremidade) que case uma linha de transmissão de impedância característica Z_0=100\\ \Omega a uma carga Z_L=50\\ \Omega. Ou seja, determinar (em frações de comprimento de onda \lambda) a posição d do toco a partir da carga e o comprimento l do próprio toco.
Dados fornecidos (resumindo):
Z_0=100\\ \Omega.
Z_L=50\\ \Omega.
O que é pedido: d e l (em função de \lambda).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo):
  • Normalizar impedância e admitirância para trabalhar sem unidades: a impedância normalizada é z_L = Z_L/Z_0. A admitância normalizada é y_L = 1/z_L. Isso torna os cálculos independentes de Z_0 em escala.
  • A admitância vista a uma distância d da carga numa linha lossless é dada (normalizada) por
y_\text{in}(d)=\frac{y_L + j\tan(\beta d)}{1 + j y_L \tan(\beta d)},
onde \beta = 2\pi/\lambda e \tan(\beta d) transforma a carga ao longo da linha. Aqui j é a unidade imaginária.
  • Para casar com um stub em derivação, queremos que a parte real da y_\text{in} seja igual a 1 (ou seja, G=1 em unidades normalizadas), porque então a reatância imagética remanescente pode ser cancelada por um stub puramente reativo.
  • Admitância de um toco curto-circuitado de comprimento l (normalizada a Z_0): y_\text{stub} = -j\cot(\beta l). É puramente imaginária (como esperado), e podemos escolher l para fornecer a susceptância necessária para cancelar a parte imaginária de y_\text{in}.

Passo 3

Calcule valores numéricos iniciais e escreva a expressão de y_\text{in} com y_L conhecido:
Normalizando,
z_L=\frac{Z_L}{Z_0}=\frac{50}{100}=0{,}5,
y_L=\frac{1}{z_L}=2.
Coloque \tan(\beta d)=t (para simplificar a álgebra). Então
y_\text{in}(d)=\frac{2 + j t}{1 + j 2 t}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador para separar parte real e imaginária:
y_\text{in}(d)=\frac{(2 + j t)(1 - j2 t)}{1 + 4 t^2}.
Calcule o numerador:
(2 + j t)(1 - j2 t)=2 - j4t + j t + 2 t^2 = (2 + 2 t^2) - j 3 t.
Portanto
y_\text{in}(d)=\frac{2 + 2 t^2}{1 + 4 t^2} \;-\; j\,\frac{3 t}{1 + 4 t^2}.
A parte real é
G=\Re\{y_\text{in}\}=\frac{2 + 2 t^2}{1 + 4 t^2}.

Passo 4

Imponha a condição de casamento: G=1. Resolva para t=\tan(\beta d).
\frac{2 + 2 t^2}{1 + 4 t^2}=1.
Multiplicando:
2 + 2 t^2 = 1 + 4 t^2 \quad\Rightarrow\quad 1 = 2 t^2 \quad\Rightarrow\quad t^2=\frac{1}{2}.
Logo
t=\tan(\beta d)=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\approx\pm 0{,}7071.
Agora convertemos isso para distâncias d. Tome \theta=\beta d. As soluções principais são:
  • Para t=+\dfrac{1}{\sqrt{2}}: \theta=\arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx 0{,}61548\\ \text{rad}=35{,}264^\circ. Então
d_1=\frac{\theta}{\beta}=\frac{0{,}61548}{2\pi}\,\lambda\approx 0{,}098\lambda.
  • Para t=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}: a arctan principal dá \theta=-0{,}61548\\ \text{rad}, mas queremos uma distância positiva; a solução dentro de 0 a \lambda/2 é \theta=\pi-0{,}61548=2{,}52611\\ \text{rad}. Assim
d_2=\frac{2{,}52611}{2\pi}\,\lambda\approx 0{,}402\lambda.
Observação: essas duas soluções estão separadas por \lambda/2 (de fato 0{,}098\lambda + 0{,}402\lambda = 0{,}5\lambda). Ambas são válidas; são dois pontos ao longo da linha onde a condutância normalizada é 1.

Passo 5

Calcule agora a parte imaginária B=\Im\{y_\text{in}\} nesses pontos para saber que susceptância precisamos cancelar com o stub. Da expressão obtida:
B=\Im\{y_\text{in}\}=-\frac{3 t}{1 + 4 t^2}.
Com t^2=1/2 a denominação vale 1+4(1/2)=3, então
B=-\frac{3 t}{3}=-t.
Portanto:
  • Para t=+\dfrac{1}{\sqrt{2}} temos B=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx -0{,}7071.
  • Para t=-\dfrac{1}{\sqrt{2}} temos B=+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx +0{,}7071.
Queremos um stub que forneça y_\text{stub}=-jB (pois o total em derivação deve ficar puramente real). Para um toco curto-circuitado temos
y_\text{stub}=-j\cot(\beta l).
Igualando -j\cot(\beta l)=-jB obtemos
\cot(\beta l)=B.

Passo 6

Resolva \cot(\beta l)=B para l nas duas possibilidades (lembrando que podemos escolher a menor l>0 que satisfaça a equação):
  • Caso associado a d_1=0{,}098\lambda: temos B=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Então
\cot(\beta l)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\quad\Rightarrow\quad \tan(\beta l)=-\sqrt{2}.
A solução positiva mais curta para \beta l é \beta l=\pi - \arctan(\sqrt{2}) (porque \tan é negativa no segundo quadrante), com \arctan(\sqrt{2})\approx 0{,}95532\\ \text{rad}. Assim
\beta l \approx \pi - 0{,}95532 = 2{,}18627\\ \text{rad},
l_1=\frac{2{,}18627}{2\pi}\,\lambda\approx 0{,}348\lambda.
  • Caso associado a d_2=0{,}402\lambda: temos B=+\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Então
\cot(\beta l)=\frac{1}{\sqrt{2}}\quad\Rightarrow\quad \tan(\beta l)=\sqrt{2}.
A solução positiva mais curta é \beta l=\arctan(\sqrt{2})\approx 0{,}95532\\ \text{rad}, logo
l_2=\frac{0{,}95532}{2\pi}\,\lambda\approx 0{,}152\lambda.

Passo 7

Interprete e escolha entre as soluções: temos duas soluções completas (posições d e comprimentos l) que casam a linha:
  • Solução A: d=0{,}098\lambda (a partir da carga) e l=0{,}348\lambda.
  • Solução B: d=0{,}402\lambda (a partir da carga) e l=0{,}152\lambda.
    Ambas funcionam; a escolha prática costuma privilegiar a solução com o toco mais curto (menor l) por razões físicas de implementação. Portanto eu recomendaria a Solução B na prática (stub mais curto). Força aí — você já tem ambas as opções para a prova!

Resposta

d=0{,}098\lambda,\; l=0{,}348\lambda
d=0{,}402\lambda,\; l=0{,}152\lambda

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