Projete um toco curto-circuitado para casar uma LT de
a uma carga de
. Determine a posição e o comprimento do toco.
Passo 1
O enunciado pede: projetar um toco curto-circuitado (stub em derivação, curto na extremidade) que case uma linha de transmissão de impedância característica
a uma carga
. Ou seja, determinar (em frações de comprimento de onda
) a posição
do toco a partir da carga e o comprimento
do próprio toco.
Dados fornecidos (resumindo):
.
.
O que é pedido: e
(em função de
).
Dados fornecidos (resumindo):
O que é pedido:
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo):
- Normalizar impedância e admitirância para trabalhar sem unidades: a impedância normalizada é
. A admitância normalizada é . Isso torna os cálculos independentes de em escala. - A admitância vista a uma distância
da carga numa linha lossless é dada (normalizada) por
onde
e
transforma a carga ao longo da linha. Aqui
é a unidade imaginária.
- Para casar com um stub em derivação, queremos que a parte real da
seja igual a 1 (ou seja, em unidades normalizadas), porque então a reatância imagética remanescente pode ser cancelada por um stub puramente reativo. - Admitância de um toco curto-circuitado de comprimento
(normalizada a ): . É puramente imaginária (como esperado), e podemos escolher para fornecer a susceptância necessária para cancelar a parte imaginária de .
Passo 3
Calcule valores numéricos iniciais e escreva a expressão de
com
conhecido:
Normalizando,
Normalizando,
Coloque
(para simplificar a álgebra). Então
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador para separar parte real e imaginária:
Calcule o numerador:
Portanto
A parte real é
Passo 4
Imponha a condição de casamento:
. Resolva para
.
Multiplicando:
Logo
Agora convertemos isso para distâncias
. Tome
. As soluções principais são:
- Para
: . Então
- Para
: a arctan principal dá , mas queremos uma distância positiva; a solução dentro de a é . Assim
Observação: essas duas soluções estão separadas por
(de fato
). Ambas são válidas; são dois pontos ao longo da linha onde a condutância normalizada é 1.
Passo 5
Calcule agora a parte imaginária
nesses pontos para saber que susceptância precisamos cancelar com o stub. Da expressão obtida:
Com
a denominação vale
, então
Portanto:
- Para
temos . - Para
temos .
Queremos um stub que forneça
(pois o total em derivação deve ficar puramente real). Para um toco curto-circuitado temos
Igualando
obtemos
Passo 6
Resolva
para
nas duas possibilidades (lembrando que podemos escolher a menor
que satisfaça a equação):
- Caso associado a
: temos . Então
A solução positiva mais curta para
é
(porque
é negativa no segundo quadrante), com
. Assim
- Caso associado a
: temos . Então
A solução positiva mais curta é
, logo
Passo 7
Interprete e escolha entre as soluções: temos duas soluções completas (posições
e comprimentos
) que casam a linha:
- Solução A:
(a partir da carga) e . - Solução B:
(a partir da carga) e .
Ambas funcionam; a escolha prática costuma privilegiar a solução com o toco mais curto (menor) por razões físicas de implementação. Portanto eu recomendaria a Solução B na prática (stub mais curto). Força aí — você já tem ambas as opções para a prova!