Uma carga com impedância de ( 80-\mathrm{j} 30 ) \Omega) é conectada a uma linha sem perdas de \mathrm{Z} 0=150 \Omega. Determine usando a Carta de Smith: (a) a admitância da carga; (b) a impedância e admitância à distância de 0,15 \lambda da carga; (c) a posição e o comprimento do toco em curto para casar a linha à carga. Repita o problema considerando o toco em aberto.

Passo 1

Aqui está o que o enunciado dá e o que pede, bem mastigado para a gente seguir com calma:
  • Dado: a carga tem impedância \displaystyle Z_L = (80 - \mathrm{j}30)\\ \Omega.
  • Dado: a linha sem perdas tem \displaystyle Z_0 = 150\\ \Omega.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a admitância da carga (isto é, \displaystyle Y_L = 1/Z_L).
    (b) Determinar a impedância e a admitância a uma distância \displaystyle 0{,}15\lambda da carga (medida em direção ao gerador).
    (c) Encontrar a posição (a que distância da carga) e o comprimento do toco (stub) curto para casar a linha à carga; depois repetir considerando o toco em aberto.
Todas as quantidades complexas serão apresentadas com explicação passo a passo. Vamos começar calculando a admitância e as quantidades normalizadas — isso é essencial para usar a Carta de Smith (aqui eu faço a conta analiticamente, que é o mesmo raciocínio que a carta faria).

Passo 2

(a) Calcular a admitância da carga. Fórmula básica:
Y_L=\frac{1}{Z_L}.
Aplicando \displaystyle Z_L=80-\mathrm{j}30:
Y_L=\frac{1}{80-\mathrm{j}30}=\frac{80+\mathrm{j}30}{80^2+30^2}=\frac{80+\mathrm{j}30}{6400+900}=\frac{80+\mathrm{j}30}{7300}.
Agora dividindo componente a componente:
Y_L=\frac{80}{7300}+\mathrm{j}\frac{30}{7300}=0{,}010966+\mathrm{j}0{,}004110\\ \text{S}.
Em miliSiemens:
Y_L\approx 10{,}966\\ \text{mS} + \mathrm{j}\,4{,}110\\ \text{mS}.
(Guarda isso: é a admitância literal da carga.)

Passo 3

Para trabalhar com a Carta de Smith é comum normalizar. Calculemos a impedância e admitância normalizadas:
Impedância normalizada:
z_L=\frac{Z_L}{Z_0}=\frac{80-\mathrm{j}30}{150}=0{,}53333-\mathrm{j}0{,}2.
Admitância normalizada (é simplesmente y_L=1/z_L, ou também y_L=Y_L\cdot Z_0). Façamos a inversão:
y_L=\frac{1}{0{,}53333-\mathrm{j}0{,}2}=\frac{0{,}53333+\mathrm{j}0{,}2}{0{,}53333^2+0{,}2^2}.
Denominador:
0{,}53333^2+0{,}2^2\approx0{,}284444+0{,}04=0{,}324444.
Assim
y_L\approx\frac{0{,}53333}{0{,}324444}+\mathrm{j}\frac{0{,}2}{0{,}324444}\approx1{,}6449+\mathrm{j}0{,}6168.
Conferindo com Y_L: Y_L=y_L/Z_0\approx(1{,}6449+\mathrm{j}0{,}6168)/150 que dá os valores do Passo 2 (ok, consistente).

Passo 4

(b) Impedância e admitância à distância \displaystyle 0{,}15\lambda da carga.
Usamos a fórmula de transformação de impedância ao longo de uma linha sem perdas (distância medida a partir da carga, em direção ao gerador):
z(l)=\frac{z_L+\mathrm{j}\tan\theta}{1+\mathrm{j}z_L\tan\theta},\qquad \theta=\beta l,
onde \beta=2\pi/\lambda e, para l=0{,}15\lambda, \theta=2\pi\cdot0{,}15=0{,}3\pi rad =54^\circ.
Calcule \tan\theta:
\tan(54^\circ)\approx1{,}3763819.
Aplicando com z_L=0{,}53333-\mathrm{j}0{,}2 e t=\tan\theta:
\text{numerador}=z_L+\mathrm{j}t=0{,}53333+\mathrm{j}( -0{,}2 + 1{,}3763819)=0{,}53333+\mathrm{j}1{,}1763819,
\text{denominador}=1+\mathrm{j}z_L t=1+\mathrm{j}(0{,}53333-\mathrm{j}0{,}2)\,t =1 - 0{,}2t + \mathrm{j}(0{,}53333t).
Numérico:
1-0{,}2t\approx1-0{,}2\cdot1{,}3763819=1-0{,}2752764=0{,}7247236,
0{,}53333t\approx0{,}53333\cdot1{,}3763819\approx0{,}7340.
Assim denominador \approx0{,}7247236+\mathrm{j}0{,}7340.
Agora a divisão (faço a conta e apresento o resultado normalizado):
z(0{,}15\lambda)\approx0{,}7131+\mathrm{j}0{,}5117.
Voltando à impedância absoluta:
Z(0{,}15\lambda)=Z_0\,z(0{,}15\lambda)=150\,(0{,}7131+\mathrm{j}0{,}5117)\approx106{,}97+\mathrm{j}76{,}76\\ \Omega.

Passo 5

Agora a admitância nesse ponto é simplesmente a inversa:
Y(0{,}15\lambda)=\frac{1}{Z(0{,}15\lambda)}\approx\frac{1}{106{,}97+\mathrm{j}76{,}76}.
Fazendo a divisão:
Y(0{,}15\lambda)\approx0{,}006171-\mathrm{j}0{,}004431\\ \text{S}
ou em mS:
Y(0{,}15\lambda)\approx6{,}171\\ \text{mS} - \mathrm{j}\,4{,}431\\ \text{mS}.
(normalizada: y(0{,}15\lambda)=Y\cdot Z_0\approx0{,}9257-\mathrm{j}0{,}6647, que é 1/(0{,}7131+\mathrm{j}0{,}5117), consistente).

Passo 6

(c) Método do toco (stub) em paralelo — explicationzinha didática:
  • Objetivo: colocar um stub em derivação numa certa posição a partir da carga para que a admitância total na junção seja puramente resistiva igual a 1/Z_0 (ou, em termos normalizados, y_\text{total}=1+\mathrm{j}0).
  • Estratégia: mover-se a partir da carga até uma posição onde a parte real da admitância normalizada seja 1. Nesse ponto a parte imaginária b (susceptância normalizada) é cancelada por um stub cuja admitância normalizada é -\mathrm{j}b.
  • A fórmula da admissão transformada ao longo da linha é:
y(\theta)=\frac{y_L+\mathrm{j}\tan\theta}{1+\mathrm{j}y_L\tan\theta},\quad y_L=G_L+\mathrm{j}B_L.
Queremos \Re\{y(\theta)\}=1. Substituindo e simplificando (asseguro a dedução):
com a=G_L e B_L dado, ao trabalhar a expressão chega-se à condição
a(1+t^2)=(1-B_L t)^2+(a t)^2,\quad t=\tan\theta.
Isto reduz a uma quadrática em t. Vamos resolver numericamente com a=1{,}6449 e B_L=0{,}6168.

Passo 7

Resolver a quadrática (detalhes):
A equação passa a ser
1{,}4412\,t^2 -1{,}2336\,t -0{,}6449=0
(esses coeficientes vêm da substituição numérica). Solução:
t=\frac{1{,}2336\pm\sqrt{1{,}2336^2+4\cdot1{,}4412\cdot0{,}6449}}{2\cdot1{,}4412}.
Calculando:
t_1\approx1{,}2229,\qquad t_2\approx-0{,}3665.
Agora \theta=\arctan(t), mas como a tangente é periódica, na faixa 0<\theta<\pi (isto é, distâncias 0<d<0{,}5\lambda) as soluções correspondem a:
\theta_1\approx50{,}8^\circ\quad\Rightarrow\quad d_1=\frac{\theta_1}{360^\circ}\lambda\approx0{,}1411\lambda,
\theta_2\approx159{,}9^\circ\quad\Rightarrow\quad d_2=\frac{\theta_2}{360^\circ}\lambda\approx0{,}4442\lambda.
Ou seja: existem duas posições (por isso a carta costuma mostrar duas interseções) medidas a partir da carga em direção ao gerador onde a condutância normalizada vale 1.

Passo 8

Calcular a susceptância normalizada em cada uma dessas posições (esta é a parte imaginária de y(\theta) naquele ponto) — é ela que o stub precisa fornecer com sinal oposto.
Usando a fórmula de transformação (ou usando a divisão direta), obtemos numericamente:
  • Para d_1=0{,}1411\lambda: y(d_1)\approx 1 - \mathrm{j}\,0{,}6954. Então o stub deve ter y_\text{stub}=+\mathrm{j}\,0{,}6954 (para que 1-\mathrm{j}0{,}6954 + \mathrm{j}0{,}6954 = 1).
  • Para d_2=0{,}4442\lambda: y(d_2)\approx 1 + \mathrm{j}\,0{,}6960. Então o stub deve ter y_\text{stub}=-\mathrm{j}\,0{,}6960.
Observação intuitiva: um dos pontos exige um stub de susceptância indutiva (positivo em j), o outro exige susceptância capacitiva (negativo em j).

Passo 9

Agora encontramos os comprimentos do toco para os dois tipos de terminação.
Fórmulas padrão (normalizadas):
  • stub curto (terminal em curto): y_\text{short}(l_s)=-\mathrm{j}\cot(\beta l_s).
  • stub aberto (terminal em aberto): y_\text{open}(l_s)=\mathrm{j}\tan(\beta l_s).
Queremos que y_\text{stub} (normalizado) seja igual ao valor necessário em cada posição. Portanto resolvemos para l_s.
Caso A — toco curto (curto no fim):
  • Para a posição d_1 precisamos de y_\text{stub}=+\mathrm{j}0{,}6954. Então -\cot(\beta l_s)=0{,}6954 \quad\Rightarrow\quad \cot(\beta l_s)=-0{,}6954.Isso dá \beta l_s\approx125^\circ (a solução mais curta dentro de 0<\beta l_s<180^\circ), logo l_{s1}^{(\text{short})}\approx\frac{125^\circ}{360^\circ}\lambda\approx0{,}3472\lambda.
  • Para a posição d_2 precisamos de y_\text{stub}=-\mathrm{j}0{,}6960. Então -\cot(\beta l_s)=-0{,}6960 \quad\Rightarrow\quad \cot(\beta l_s)=0{,}6960,o que dá \beta l_s\approx55^\circ, portanto l_{s2}^{(\text{short})}\approx\frac{55^\circ}{360^\circ}\lambda\approx0{,}1528\lambda.
Entre as duas opções, para toco curto a solução prática costuma escolher a menor l_s, que é l_{s2}^{(\text{short})}\approx0{,}1528\lambda colocada em d_2\approx0{,}4442\lambda da carga.
Caso B — toco aberto (aberto no fim):
  • Para d_1 precisamos y_\text{stub}=+\mathrm{j}0{,}6954. Com stub aberto: \tan(\beta l_s)=0{,}6954 \quad\Rightarrow\quad \beta l_s\approx34{,}8^\circ,logo l_{s1}^{(\text{open})}\approx\frac{34{,}8^\circ}{360^\circ}\lambda\approx0{,}0967\lambda.
  • Para d_2 precisamos y_\text{stub}=-\mathrm{j}0{,}6960. Com stub aberto: \tan(\beta l_s)=-0{,}6960 \quad\Rightarrow\quad \beta l_s\approx145{,}2^\circ,logo l_{s2}^{(\text{open})}\approx\frac{145{,}2^\circ}{360^\circ}\lambda\approx0{,}4033\lambda.
Entre essas duas, a solução prática menor para stub aberto é l_{s1}^{(\text{open})}\approx0{,}0967\lambda colocada em d_1\approx0{,}1411\lambda da carga.

Resposta

(a) \displaystyle Y_L=\frac{1}{80-\mathrm{j}30}=0{,}010966+\mathrm{j}0{,}004110\\ \text{S} (≈ 10{,}966\\ \mathrm{mS}+\mathrm{j}\,4{,}110\\ \mathrm{mS}).\n
(b) \displaystyle Z(0{,}15\lambda)\approx106{,}97+\mathrm{j}76{,}76\\ \Omega.\n \displaystyle Y(0{,}15\lambda)\approx0{,}006171-\mathrm{j}0{,}004431\\ \text{S} (≈ 6{,}171\\ \mathrm{mS}-\mathrm{j}\,4{,}431\\ \mathrm{mS}).\n
(c) Toco curto (shorted stub): duas opções de posição a partir da carga: d_1\approx0{,}1411\lambda com l_s\approx0{,}3472\lambda, ou d_2\approx0{,}4442\lambda com l_s\approx0{,}1528\lambda. (Solução prática mais curta: d_2\approx0{,}4442\lambda, l_s\approx0{,}1528\lambda.)\n
Toco aberto (open stub): duas opções de posição: d_1\approx0{,}1411\lambda com l_s\approx0{,}0967\lambda, ou d_2\approx0{,}4442\lambda com l_s\approx0{,}4033\lambda. (Solução prática mais curta: d_1\approx0{,}1411\lambda, l_s\approx0{,}0967\lambda.)

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