Uma carga com impedância de (
) \Omega) é conectada a uma linha sem perdas de
. Determine usando a Carta de Smith: (a) a admitância da carga; (b) a impedância e admitância à distância de
da carga; (c) a posição e o comprimento do toco em curto para casar a linha à carga. Repita o problema considerando o toco em aberto.
Passo 1
Aqui está o que o enunciado dá e o que pede, bem mastigado para a gente seguir com calma:
- Dado: a carga tem impedância
. - Dado: a linha sem perdas tem
. - Perguntas:
(a) Calcular a admitância da carga (isto é,).
(b) Determinar a impedância e a admitância a uma distânciada carga (medida em direção ao gerador).
(c) Encontrar a posição (a que distância da carga) e o comprimento do toco (stub) curto para casar a linha à carga; depois repetir considerando o toco em aberto.
Todas as quantidades complexas serão apresentadas com explicação passo a passo. Vamos começar calculando a admitância e as quantidades normalizadas — isso é essencial para usar a Carta de Smith (aqui eu faço a conta analiticamente, que é o mesmo raciocínio que a carta faria).
Passo 2
(a) Calcular a admitância da carga. Fórmula básica:
Aplicando
:
Agora dividindo componente a componente:
Em miliSiemens:
(Guarda isso: é a admitância literal da carga.)
Passo 3
Para trabalhar com a Carta de Smith é comum normalizar. Calculemos a impedância e admitância normalizadas:
Impedância normalizada:
Admitância normalizada (é simplesmente
, ou também
). Façamos a inversão:
Denominador:
Assim
Conferindo com
:
que dá os valores do Passo 2 (ok, consistente).
Passo 4
(b) Impedância e admitância à distância
da carga.
Usamos a fórmula de transformação de impedância ao longo de uma linha sem perdas (distância medida a partir da carga, em direção ao gerador):
onde
e, para
,
rad
.
Calcule
:
Aplicando com
e
:
Numérico:
Assim denominador
.
Agora a divisão (faço a conta e apresento o resultado normalizado):
Voltando à impedância absoluta:
Passo 5
Agora a admitância nesse ponto é simplesmente a inversa:
Fazendo a divisão:
ou em mS:
(normalizada:
, que é
, consistente).
Passo 6
(c) Método do toco (stub) em paralelo — explicationzinha didática:
- Objetivo: colocar um stub em derivação numa certa posição a partir da carga para que a admitância total na junção seja puramente resistiva igual a
(ou, em termos normalizados, ). - Estratégia: mover-se a partir da carga até uma posição onde a parte real da admitância normalizada seja
. Nesse ponto a parte imaginária (susceptância normalizada) é cancelada por um stub cuja admitância normalizada é . - A fórmula da admissão transformada ao longo da linha é:
Queremos
. Substituindo e simplificando (asseguro a dedução):
com e
dado, ao trabalhar a expressão chega-se à condição
com
Isto reduz a uma quadrática em
. Vamos resolver numericamente com
e
.
Passo 7
Resolver a quadrática (detalhes):
A equação passa a ser
A equação passa a ser
(esses coeficientes vêm da substituição numérica). Solução:
Calculando:
Agora
, mas como a tangente é periódica, na faixa
(isto é, distâncias
) as soluções correspondem a:
Ou seja: existem duas posições (por isso a carta costuma mostrar duas interseções) medidas a partir da carga em direção ao gerador onde a condutância normalizada vale
.
Passo 8
Calcular a susceptância normalizada em cada uma dessas posições (esta é a parte imaginária de
naquele ponto) — é ela que o stub precisa fornecer com sinal oposto.
Usando a fórmula de transformação (ou usando a divisão direta), obtemos numericamente:
- Para
: . Então o stub deve ter (para que ). - Para
: . Então o stub deve ter .
Observação intuitiva: um dos pontos exige um stub de susceptância indutiva (positivo em
), o outro exige susceptância capacitiva (negativo em
).
Passo 9
Agora encontramos os comprimentos do toco para os dois tipos de terminação.
Fórmulas padrão (normalizadas):
- stub curto (terminal em curto):
. - stub aberto (terminal em aberto):
.
Queremos que
(normalizado) seja igual ao valor necessário em cada posição. Portanto resolvemos para
.
Caso A — toco curto (curto no fim):
- Para a posição
precisamos de . Então Isso dá (a solução mais curta dentro de ), logo - Para a posição
precisamos de . Então o que dá , portanto
Entre as duas opções, para toco curto a solução prática costuma escolher a menor
, que é
colocada em
da carga.
Caso B — toco aberto (aberto no fim):
- Para
precisamos . Com stub aberto: logo - Para
precisamos . Com stub aberto: logo
Entre essas duas, a solução prática menor para stub aberto é
colocada em
da carga.
Resposta
(a)
(≈
).\n
(b) \n
(≈
).\n
(c) Toco curto (shorted stub): duas opções de posição a partir da carga: com
, ou
com
. (Solução prática mais curta:
,
.)\n
Toco aberto (open stub): duas opções de posição: com
, ou
com
. (Solução prática mais curta:
,
.)
(b)
(c) Toco curto (shorted stub): duas opções de posição a partir da carga:
Toco aberto (open stub): duas opções de posição: