• Um projétil de 10 kg é disparado para cima verticalmente a partir do solo com uma velocidade inicial de 50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
    Determine a altura máxima que o projétil atinge se:
    (a) a resistência do ar for desprezada
    (b) a resistência do ar for F_{D}=\left(0,01 v^{2}\right) \mathrm{N}, sendo v a velocidade escalar do projétil a qualquer instante de tempo t, medida \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado trata de um projétil de massa m=10\:\mathrm{kg} lançado verticalmente para cima com velocidade inicial v_{0}=50\:\mathrm{m/s}. Queremos a altura máxima atingida em dois casos:
  • (a) desprezando a resistência do ar (conteúdo: conservação de energia ou cinemática sob aceleração constante),
  • (b) incluindo arrasto quadrático F_{D}=k\,v^{2} com k=0,01\:\mathrm{N\!·s^{2}/m^{2}} (conteúdo: equação diferencial para movimento com força dependente de v).

Passo 2

Caso (a): sem resistência do ar, usamos conservação de energia mecânica entre o solo (onde a altura é zero) e o ponto de parada (velocidade zero).
\frac12\,m\,v_{0}^{2} = m\,g\,h_{\max}
Logo,
h_{\max} = \frac{v_{0}^{2}}{2\,g}
Substituindo v_{0}=50\:\mathrm{m/s} e g=9{,}8\:\mathrm{m/s^{2}},
h_{\max} = \frac{50^{2}}{2\times9{,}8}\approx127{,}6\:\mathrm{m}.

Passo 3

Caso (b): com arrasto, escrevemos a segunda lei de Newton para o movimento vertical ascendente ( v>0):
m\,\frac{dv}{dt} = -m\,g - k\,v^{2}.

Passo 4

Para achar a altura máxima, usamos v\,\frac{dv}{dh}=\frac{dv}{dt} e separamos variáveis:
v\,\frac{dv}{dh} = -g - \frac{k}{m}\,v^{2} \;\Longrightarrow\; \frac{v\,dv}{g + \frac{k}{m}v^{2}} = -\,dh.
Integrando de h=0 (onde v=v_{0}) até h=h_{\max} (onde v=0):
\int_{0}^{h_{\max}} dh = \int_{v_{0}}^{0} -\frac{v\,dv}{g + \frac{k}{m}v^{2}} = \int_{0}^{v_{0}}\frac{v\,dv}{g + \frac{k}{m}v^{2}} = \frac{m}{2\,k}\,\ln\!\Bigl(1 + \frac{k\,v_{0}^{2}}{m\,g}\Bigr).
Portanto,
h_{\max} = \frac{m}{2\,k}\,\ln\!\Bigl(1 + \frac{k\,v_{0}^{2}}{m\,g}\Bigr).

Passo 5

Substituindo m=10\:\mathrm{kg}, k=0,01\:\mathrm{N\!·s^{2}/m^{2}}, v_{0}=50\:\mathrm{m/s} e g=9{,}8\:\mathrm{m/s^{2}}:
\frac{k\,v_{0}^{2}}{m\,g} = \frac{0{,}01\times50^{2}}{10\times9{,}8} = \frac{25}{98}\approx0{,}2551,
logo
h_{\max} = \frac{10}{2\times0{,}01}\,\ln\!\Bigl(1 + 0{,}2551\Bigr) =500\,\ln(1{,}2551)\approx500\times0{,}2273\approx113{,}6\:\mathrm{m}.

Resposta

(a) \approx127{,}6\:\mathrm{m}
(b) \approx113{,}6\:\mathrm{m}

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