- Prove que a soma das tensões normais
é constante.
Passo 1
Temos um estado plano de tensões com componentes normais
,
e corte
em eixos
. Giramos o sistema de eixos em um ângulo
e obtemos novas componentes normais
,
e corte
. O que queremos provar é que
ou seja, a soma das tensões normais é invariante. Para isso vamos usar as fórmulas de transformação de tensões em 2D.
Passo 2
As fórmulas de transformação para as tensões normais em eixos girados em
são:
Essas expressões decorrem da aplicação da Cauchy para o vetor tensão numa reta inclinada e do equilíbrio de forças no elemento infinitesimal.
Passo 3
Somando
e
temos
Nos termos do lado direito, os termos com
se cancelam entre si, assim como os termos com
. Resta então
Resposta
Fica provado que
ou seja, a soma das tensões normais é constante sob rotação de eixos.