1. Prove que a soma das tensões normais \sigma_{x}+ \sigma_{y}=\sigma_{x^{\prime}}+\sigma_{y^{\prime}} é constante.

Passo 1

Temos um estado plano de tensões com componentes normais \sigma_{x}, \sigma_{y} e corte \tau_{xy} em eixos x,y. Giramos o sistema de eixos em um ângulo \theta e obtemos novas componentes normais \sigma_{x'}, \sigma_{y'} e corte \tau_{x'y'}. O que queremos provar é que
\sigma_{x'}+\sigma_{y'}=\sigma_{x}+\sigma_{y},
ou seja, a soma das tensões normais é invariante. Para isso vamos usar as fórmulas de transformação de tensões em 2D.

Passo 2

As fórmulas de transformação para as tensões normais em eixos girados em \theta são:
\sigma_{x'} = \frac{\sigma_{x} + \sigma_{y}}{2} + \frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\cos2\theta + \tau_{xy}\,\sin2\theta,
\sigma_{y'} = \frac{\sigma_{x} + \sigma_{y}}{2} - \frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\cos2\theta - \tau_{xy}\,\sin2\theta.
Essas expressões decorrem da aplicação da Cauchy para o vetor tensão numa reta inclinada e do equilíbrio de forças no elemento infinitesimal.

Passo 3

Somando \sigma_{x'} e \sigma_{y'} temos
\sigma_{x'}+\sigma_{y'} = \Bigl(\tfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\tfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\theta+\tau_{xy}\sin2\theta\Bigr) +\Bigl(\tfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}-\tfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\theta-\tau_{xy}\sin2\theta\Bigr).
Nos termos do lado direito, os termos com \cos2\theta se cancelam entre si, assim como os termos com \sin2\theta. Resta então
\sigma_{x'}+\sigma_{y'} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} = \sigma_x+\sigma_y.

Resposta

Fica provado que
\sigma_{x'}+\sigma_{y'}=\sigma_x+\sigma_y,
ou seja, a soma das tensões normais é constante sob rotação de eixos.

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