Determine o modelo matemático do sistema equivalente e desenvolva a solução do modelo matemático considerando que o movimento da massa do sistema é harmônico. Qual a resposta da massa quando um deslocamento inicial de 5 cm e uma velocidade inicial de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} são aplicados ao sistema? Plote os resultados utilizando um software matemático.

Passo 1

O enunciado apresenta um bloco de massa m=10,kg ligado a várias molas sem amortecimento. Do lado esquerdo há duas ramificações: uma composta pelas molas de rigidezes k_1=2,kN/m e k_2=3,kN/m em série, e outra com k_3=4,kN/m; do lado direito há duas molas k_4=10,kN/m e k_5=1,kN/m em paralelo. Queremos:
  1. Encontrar a rigidez equivalente k.
  2. Formular o modelo de oscilador harmônico \displaystyle m\,\ddot x + k\,x =0.
  3. Resolver esse modelo com as condições iniciais x(0)=5,cm e \dot x(0)=1,m/s.
  4. Exibir a resposta x(t) e indicar como plotá-la.

Passo 2

Calculamos as combinações de molas em N/m:
k_1=2000,\quad k_2=3000,\quad k_3=4000,\quad k_4=10000,\quad k_5=1000.
No ramo esquerdo, k_1 e k_2 estão em série:
\frac1{k_{12}}=\frac1{k_1}+\frac1{k_2} \quad\Longrightarrow\quad k_{12}=\frac{k_1\,k_2}{k_1+k_2} =\frac{2000\cdot3000}{2000+3000}=1200\;\text{N/m}.
Esse k_{12} fica em paralelo com k_3, logo
k_{\text{esq}}=k_{12}+k_3=1200+4000=5200\;\text{N/m}.
Do lado direito k_4 e k_5 estão em paralelo:
k_{\text{dir}}=k_4+k_5=10000+1000=11000\;\text{N/m}.
Então a rigidez total é
k = k_{\text{esq}} + k_{\text{dir}} =5200 + 11000 =16200\;\text{N/m}.

Passo 3

O modelo dinâmico sem amortecimento é
m\,\ddot x + k\,x = 0.
Dividindo por m:
\ddot x + \omega_0^2\,x = 0, \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{16200}{10}}\approx40{,}249\;\text{rad/s}.

Passo 4

A solução geral é
x(t)=A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t).
Impondo x(0)=0,05,m:
A = 0,05.
E \dot x(0)=1,m/s dá
\dot x(0)= -A\,\omega_0\sin0 + B\,\omega_0\cos0 = B\,\omega_0 =1 \;\Longrightarrow\; B=\frac1{\omega_0}\approx \frac1{40{,}249}\approx0,02485\,\text{m}.
Logo
x(t)=0,05\cos(40{,}249\,t)+0,02485\sin(40{,}249\,t).

Resposta

x(t)=0,05\cos\bigl(40{,}249\,t\bigr) +0,02485\sin\bigl(40{,}249\,t\bigr) \quad\text{(metros)}.
Para plotar, basta usar o software de sua preferência. Por exemplo, em MATLAB:
\begin{aligned} t &= \text{linspace}(0,0.5,1000); \\\ x &= 0.05*\cos(40.249*t) + 0.02485*\sin(40.249*t); \\\ \text{plot}(t,x),\;\text{xlabel}('t\;(s)'),\;\text{ylabel}('x\;(m)'). \end{aligned}

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