• Um projétil de 10 kg é disparado para cima verticalmente a partir do solo com uma velocidade inicial de 50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a altura que atingirá se:
    (b) a resistência atmosférica for medida como F d=\left(0,01 v^{2}\right) N.

Passo 1

O enunciado nos dá um projétil de massa m=10,kg lançado verticalmente para cima com velocidade inicial v_{0}=50,m/s e pede a altura máxima H considerando resistência do ar proporcional a v^{2}, dada por
F_{d}=0,01\,v^{2}\text{ N}.
O conteúdo aqui é usar a segunda lei de Newton com força gravitacional e resistência do ar, transformar em uma equação diferencial em função de y e integrar para encontrar H.

Passo 2

Escrevemos a equação de movimento na direção vertical (eixo y para cima):
m\,\frac{dv}{dt} = -m\,g \;-\;0,01\,v^{2}.
Como queremos a relação entre v e y, usamos \displaystyle \frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dy}\frac{dy}{dt}=\;v\,\frac{dv}{dy}, obtendo
m\,v\,\frac{dv}{dy} = -m\,g \;-\;0,01\,v^{2}.
Definimos a constante
k = \frac{0,01}{m} = \frac{0,01}{10} = 0,001\quad\bigl[\mathrm{kg}^{-1}\bigr]
e dividimos ambos os lados por m, ficando
v\,\frac{dv}{dy} = -g \;-\;k\,v^{2}.

Passo 3

Separamos variáveis para integrar de y=0 (onde v=v_{0}) até y=H (onde v=0):
\int_{v_{0}}^{0} \frac{v}{g + k\,v^{2}}\,dv \;=\; \int_{0}^{H} (-1)\,dy.
No lado esquerdo, usamos a substituição u = g + k\,v^{2}, du = 2\,k\,v\,dv, então
\int \frac{v}{g + k\,v^{2}}\,dv = \frac{1}{2k}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2k}\ln\bigl(g + k\,v^{2}\bigr).

Passo 4

Aplicando os limites na integral, temos
\left.\frac{1}{2k}\ln\bigl(g + k\,v^{2}\bigr)\right|_{v_{0}}^{0} = \frac{1}{2k}\Bigl[\ln(g + k\cdot0^{2})-\ln\bigl(g + k\,v_{0}^{2}\bigr)\Bigr] = \frac{1}{2k}\ln\!\biggl(\frac{g}{g + k\,v_{0}^{2}}\biggr).
Igualando ao lado direito \displaystyle -\int_{0}^{H}dy = -H, obtemos
-\;H \;=\;\frac{1}{2k}\ln\!\biggl(\frac{g}{g + k\,v_{0}^{2}}\biggr) \quad\Longrightarrow\quad H = \frac{1}{2k}\ln\!\biggl(\frac{g + k\,v_{0}^{2}}{g}\biggr).

Passo 5

Substituindo g=9,8,m/ s^{2}, k=0,001 e v_{0}=50,m/s:
g + k\,v_{0}^{2} = 9,8 + 0,001\,(50)^{2} = 9,8 + 2,5 = 12,3,
H = \frac{1}{2\cdot0,001}\,\ln\!\Bigl(\frac{12,3}{9,8}\Bigr) = 500\;\ln\!\bigl(1,2551\bigr) \approx 500 \times 0,227 = 113,5\text{ m}.

Resposta

A altura máxima atingida é aproximadamente 114 metros.

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