Um projétil de 10 kg é disparado para cima verticalmente a partir do solo com uma velocidade inicial de 50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a altura que atingirá se:
(b) a resistência atmosférica for medida como F d=\left(0,01 v^{2}\right) N.
Passo 1
O enunciado nos dá um projétil de massa m=10,kg lançado verticalmente para cima com velocidade inicial v_{0}=50,m/s e pede a altura máxima H considerando resistência do ar proporcional a v^{2}, dada por
F_{d}=0,01\,v^{2}\text{ N}.
O conteúdo aqui é usar a segunda lei de Newton com força gravitacional e resistência do ar, transformar em uma equação diferencial em função de y e integrar para encontrar H.
Passo 2
Escrevemos a equação de movimento na direção vertical (eixo y para cima):
m\,\frac{dv}{dt} = -m\,g \;-\;0,01\,v^{2}.
Como queremos a relação entre v e y, usamos \displaystyle \frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dy}\frac{dy}{dt}=\;v\,\frac{dv}{dy}, obtendo
m\,v\,\frac{dv}{dy} = -m\,g \;-\;0,01\,v^{2}.
Definimos a constante
k = \frac{0,01}{m} = \frac{0,01}{10} = 0,001\quad\bigl[\mathrm{kg}^{-1}\bigr]
e dividimos ambos os lados por m, ficando
v\,\frac{dv}{dy} = -g \;-\;k\,v^{2}.
Passo 3
Separamos variáveis para integrar de y=0 (onde v=v_{0}) até y=H (onde v=0):