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Podemos considerar a nossa galáxia como um grande disco de raio Re massa M, com densidade de massa aproximadamente homogênea. (a) imagine um anel de raio r e espessura dr nesse disco. Calcule a energia potencial gravitacional em função da distância
de um corpo de massa
situado no eixo desse anel, (à distância x do seu centro), integrando o resultado anterior. (b) Como a força
-
, calcule a força gravitacional sobre o eixo do disco. c) Considere a densidade de massa dado por:
, onde A é uma constante. Calcule a energia potencial gravitacional conforme realizado no item a).
Passo 1
O enunciado trata da energia potencial gravitacional de um corpo de massa
colocado sobre o eixo de um disco de raio
e massa total
. Primeiro vamos obter a contribuição de um anel de raio
e espessura
; em seguida, integrar esse resultado de
a
para o disco homogêneo (item a), depois usar
para achar a força (item b) e, por fim, repetir o cálculo de
supondo densidade superficial
(item c).
Passo 2
Considere um anel de raio
, espessura
e densidade superficial constante
A massa desse anel é
A energia potencial entre
e esse anel, a uma distância
ao longo do eixo, é
Passo 3
Agora integramos de
a
para obter o potencial do disco homogêneo:
Fazendo a substituição
,
, vem
Logo, usando
,
Passo 4
A força gravitacional ao longo do eixo é
Derivando
logo
Se quisermos o módulo da força atrativa (dirigida para o disco), escrevemos
Passo 5
Agora suponha densidade superficial variável
. A massa do anel é
(independente de
). O potencial torna-se
Isso dá
Resposta
(a) Potencial do disco homogêneo:
(b) Força ao longo do eixo (módulo):
(c) Potencial para
: