2- (3,5) Podemos considerar a nossa galáxia como um grande disco de raio Re massa M, com densidade de massa aproximadamente homogênea. (a) imagine um anel de raio r e espessura dr nesse disco. Calcule a energia potencial gravitacional em função da distância x de um corpo de massa m situado no eixo desse anel, (à distância x do seu centro), integrando o resultado anterior. (b) Como a força \mathrm{F}_{\mathrm{x}}= - \mathrm{dU} / \mathrm{dx}, calcule a força gravitacional sobre o eixo do disco. c) Considere a densidade de massa dado por: \rho=A / r, onde A é uma constante. Calcule a energia potencial gravitacional conforme realizado no item a).

Passo 1

O enunciado trata da energia potencial gravitacional de um corpo de massa m colocado sobre o eixo de um disco de raio R_e e massa total M. Primeiro vamos obter a contribuição de um anel de raio r e espessura dr; em seguida, integrar esse resultado de r=0 a r=R_e para o disco homogêneo (item a), depois usar F_x=-\frac{dU}{dx} para achar a força (item b) e, por fim, repetir o cálculo de U(x) supondo densidade superficial \rho(r)=A/r (item c).

Passo 2

Considere um anel de raio r, espessura dr e densidade superficial constante
\Sigma=\frac{M}{\pi R_e^2}\,.
A massa desse anel é
dm = \Sigma\cdot\bigl(\text{área do anel}\bigr) = \Sigma\,(2\pi r\,dr)\,.á
A energia potencial entre m e esse anel, a uma distância x ao longo do eixo, é
dU(r) = -\,G\,\frac{m\,dm}{\sqrt{r^2+x^2}} = -\,G\,m\,\Sigma\,\frac{2\pi r\,dr}{\sqrt{r^2+x^2}}.

Passo 3

Agora integramos de r=0 a r=R_e para obter o potencial do disco homogêneo:
U(x) = \int_{0}^{R_e} dU(r) = -\,2\pi G\,m\,\Sigma \int_{0}^{R_e} \frac{r\,dr}{\sqrt{r^2+x^2}}.
Fazendo a substituição u = r^2 + x^2, du = 2r\,dr, vem
\int_{0}^{R_e}\frac{r\,dr}{\sqrt{r^2+x^2}} = \int_{x^2}^{R_e^2+x^2}\frac{du}{2\sqrt{u}} = \bigl[\sqrt{u}\bigr]_{x^2}^{R_e^2+x^2} = \sqrt{R_e^2+x^2}-x.
Logo, usando \Sigma=M/(\pi R_e^2),
U(x) = -\,2\pi G\,m\,\frac{M}{\pi R_e^2} \bigl(\sqrt{R_e^2+x^2}-x\bigr) = -\,\frac{2GMm}{R_e^2}\,\bigl(\sqrt{R_e^2+x^2}-x\bigr).

Passo 4

A força gravitacional ao longo do eixo é
F_x = -\frac{dU}{dx}.
Derivando
\frac{dU}{dx} = -\frac{2GMm}{R_e^2} \Bigl(\frac{x}{\sqrt{R_e^2+x^2}} - 1\Bigr),
logo
F_x = -\frac{dU}{dx} = \frac{2GMm}{R_e^2} \Bigl(\frac{x}{\sqrt{R_e^2+x^2}} - 1\Bigr).
Se quisermos o módulo da força atrativa (dirigida para o disco), escrevemos
|F_x| = \frac{2GMm}{R_e^2} \Bigl(1 - \frac{x}{\sqrt{R_e^2+x^2}}\Bigr).

Passo 5

Agora suponha densidade superficial variável \rho(r)=A/r. A massa do anel é
dm = \rho(r)\,2\pi r\,dr = 2\pi A\,dr
(independente de r). O potencial torna-se
U(x) = \int_0^{R_e} \bigl(-Gm\,\bigr)\frac{dm}{\sqrt{r^2+x^2}} = -\,2\pi G\,m\,A \int_{0}^{R_e}\frac{dr}{\sqrt{r^2+x^2}} = -\,2\pi G\,m\,A \Bigl[\ln\bigl(r+\sqrt{r^2+x^2}\bigr)\Bigr]_{0}^{R_e}.
Isso dá
U(x) = -\,2\pi G\,m\,A \ln\!\Bigl(\frac{R_e+\sqrt{R_e^2+x^2}}{x}\Bigr).

Resposta

(a) Potencial do disco homogêneo:
U(x) = -\,\frac{2GMm}{R_e^2}\,\bigl(\sqrt{R_e^2+x^2}-x\bigr).
(b) Força ao longo do eixo (módulo):
|F_x| = \frac{2GMm}{R_e^2} \Bigl(1 - \frac{x}{\sqrt{R_e^2+x^2}}\Bigr).
(c) Potencial para \rho(r)=A/r:
U(x) = -\,2\pi G\,m\,A \ln\!\Bigl(\frac{R_e+\sqrt{R_e^2+x^2}}{x}\Bigr).

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