Um projétil de 60,0 \mathrm{~g} é lançado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de 120 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A altura máxima atingida pelo projétil é 680 m .
Lesce wan
(a) Calcule a energia cinética inicial e a energia potencial gravitacional final do projétil.
(b) Calcule a perda de energia devida à resistência com 0 ar.
(c) Admitindo que a perda de energia por atrito na descida seja a mesma que na subida, qual é a velocidade do projétil ao retornar ao ponto de partida?

Passo 1

Dados fornecidos e o que se pede:
\text{massa } m = 60{,}0\\ \mathrm{g} = 0{,}060\\ \mathrm{kg},
\text{velocidade inicial } v_0 = 120\\ \mathrm{m/s},
\text{altura máxima } h_{\max} = 680\\ \mathrm{m}.á
Perguntas:
(a) Calcular a energia cinética inicial e a energia potencial gravitacional final (no ponto mais alto).
(b) Calcular a perda de energia devida à resistência do ar (durante a subida).
(c) Admitindo que a perda por atrito na descida seja igual à da subida, determinar a velocidade ao retornar ao ponto de partida.

Passo 2

Cálculo da energia cinética inicial. Fórmula e significado:
\text{energia cinética } K = \tfrac{1}{2} m v^2,é
onde \,m é a massa do projétil e \,v é sua velocidade. Substituindo os valores:
K_{\text{inicial}} = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}060\cdot (120)^2.
Agora fazemos a conta passo a passo:
(120)^2 = 14400,
\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}060 = 0{,}030,
K_{\text{inicial}} = 0{,}030\cdot 14400 = 432\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Cálculo da energia potencial gravitacional no ponto mais alto. Fórmula e significado:
\text{energia potencial } U = m g h,
onde \,g é a aceleração da gravidade (usarei g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}) e \,h é a altura. Substituindo:
U_{\text{final}} = 0{,}060\cdot 9{,}80\cdot 680.
Fazendo as contas em etapas:
9{,}80\cdot 680 = 6664,
0{,}060\cdot 6664 = 399{,}84\\ \mathrm{J}.
Portanto \,U_{\text{final}} = 399{,}84\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Perda de energia durante a subida (devida à resistência do ar). Conceito: se houvesse ausência total de atrito, a energia cinética inicial seria transformada integralmente em energia potencial no topo. A diferença entre K_{\text{inicial}} e U_{\text{final}} é a energia dissipada pelo ar. Cálculo:
\Delta E_{\text{perda, subida}} = K_{\text{inicial}} - U_{\text{final}} = 432 - 399{,}84 = 32{,}16\\ \mathrm{J}.
Interpretação: 32{,}16\\ \mathrm{J} foram transformados em calor/som/energia térmica do ar, etc.

Passo 5

Energia disponível para converter em velocidade na descida, sob a hipótese dada. No topo a energia mecânica armazenada é U_{\text{final}} = 399{,}84\\ \mathrm{J}. Se durante a descida houver a mesma perda por atrito que na subida ( 32{,}16\\ \mathrm{J}), a energia que chega em forma de cinética ao solo será:
K_{\text{final}} = U_{\text{final}} - \Delta E_{\text{perda, descida}} = 399{,}84 - 32{,}16 = 367{,}68\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Cálculo da velocidade ao retornar ao ponto de partida a partir da energia cinética final. Relação:
K_{\text{final}} = \tfrac{1}{2} m v_{\text{final}}^2 \quad\Rightarrow\quad v_{\text{final}} = \sqrt{\dfrac{2 K_{\text{final}}}{m}}.
Substituindo os números:
v_{\text{final}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 367{,}68}{0{,}060}}.
Fazendo as operações:
2\cdot 367{,}68 = 735{,}36,
\dfrac{735{,}36}{0{,}060} = 12256,
v_{\text{final}} = \sqrt{12256}\approx 110{,}71\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a velocidade de retorno é menor que a inicial ( 120\\ \mathrm{m/s}) porque parte da energia foi dissipada pelo atrito.

Resposta

(a) K_{\text{inicial}} = 432\\ \mathrm{J}
\;U_{\text{final}} = 399{,}84\\ \mathrm{J}
(b) \Delta E_{\text{perda, subida}} = 32{,}16\\ \mathrm{J}
(c) v_{\text{final}} \approx 110{,}71\\ \mathrm{m/s}

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