A evolução temporal de uma quantidade é dada por
. Considere o sistema descrito pela hamiltiniana,
, onde a e b são constantes. Mostre usando o resultado acima que a quantidade
é uma constante.
Passo 1
O enunciado dá a lei de evolução temporal
a hamiltoniana
onde
e
são constantes, e pede para mostrar que a quantidade
é uma constante do movimento (ou seja, que seu derivada temporal é nula). As informações relevantes são: expressão de
, expressão de
e que
são constantes. Não há dependência explícita do tempo em
no enunciado.
Passo 2
Vamos usar a definição de colchete de Poisson e interpretar cada termo. Para funções
e
do sistema canônico com variáveis
, o colchete de Poisson é definido por
Aqui
e
são derivadas parciais em relação às coordenadas canônicas
e aos momentos conjugados
. Na fórmula de evolução dada,
é a derivada parcial de
em relação ao tempo quando
e
são mantidos fixos (dependência explícita de
). Como
não depende explicitamente do tempo, teremos
Portanto basta calcular o colchete
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
. Como
, temos
e como
não depende dos momentos
,
Expliquei isso porque ao derivar
em relação a
tratamos
como constante, e vice-versa; e não há termos com
em
.
Passo 4
Agora as derivadas parciais de
. Da expressão
derivando em relação aos momentos e coordenadas obtemos
Observação sobre a última linha: por exemplo
e
; analógico para
.
Passo 5
Agora aplicamos a definição do colchete de Poisson para
e
. Usando que os termos com
são zero, obtemos
Substituindo as derivadas calculadas:
Portanto
Passo 6
Como
(não há dependência explícita de
em
) e
, pela lei de evolução dada temos
Isto significa que
é conservado ao longo do tempo:
é uma constante do movimento. Bom trabalho — mesmo com pouco tempo, ver que o colchete some por cancelamento direto é um alívio, né?