A evolução temporal de uma quantidade é dada por \frac{d u}{d t}=[u, H]+\frac{\partial u}{\partial t}. Considere o sistema descrito pela hamiltiniana, H=q_{1} p_{1}-q_{2} p_{2}-a q_{1}{ }^{2}+b q_{2}{ }^{2}, onde a e b são constantes. Mostre usando o resultado acima que a quantidade u=q_{1} q_{2} é uma constante.

Passo 1

O enunciado dá a lei de evolução temporal
\frac{d u}{d t} = [u,H] + \frac{\partial u}{\partial t},
a hamiltoniana
H = q_{1} p_{1} - q_{2} p_{2} - a q_{1}^{2} + b q_{2}^{2},
onde a e b são constantes, e pede para mostrar que a quantidade
u = q_{1} q_{2}
é uma constante do movimento (ou seja, que seu derivada temporal é nula). As informações relevantes são: expressão de H, expressão de u e que a,b são constantes. Não há dependência explícita do tempo em u no enunciado.

Passo 2

Vamos usar a definição de colchete de Poisson e interpretar cada termo. Para funções f(q,p,t) e g(q,p,t) do sistema canônico com variáveis (q_{1},q_{2},p_{1},p_{2}), o colchete de Poisson é definido por
[f,g] = \sum_{i=1}^{2}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{\partial g}{\partial q_{i}}\right).
Aqui \partial/\partial q_{i} e \partial/\partial p_{i} são derivadas parciais em relação às coordenadas canônicas q_{i} e aos momentos conjugados p_{i}. Na fórmula de evolução dada, \partial u/\partial t é a derivada parcial de u em relação ao tempo quando q e p são mantidos fixos (dependência explícita de t). Como u=q_{1}q_{2} não depende explicitamente do tempo, teremos
\frac{\partial u}{\partial t}=0.
Portanto basta calcular o colchete [u,H].

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de u. Como u=q_{1}q_{2}, temos
\frac{\partial u}{\partial q_{1}} = q_{2},\qquad \frac{\partial u}{\partial q_{2}} = q_{1},
e como u não depende dos momentos p_{1},p_{2},
\frac{\partial u}{\partial p_{1}} = 0,\qquad \frac{\partial u}{\partial p_{2}} = 0.
Expliquei isso porque ao derivar q_{1}q_{2} em relação a q_{1} tratamos q_{2} como constante, e vice-versa; e não há termos com p em u.

Passo 4

Agora as derivadas parciais de H. Da expressão
H = q_{1} p_{1} - q_{2} p_{2} - a q_{1}^{2} + b q_{2}^{2},
derivando em relação aos momentos e coordenadas obtemos
\frac{\partial H}{\partial p_{1}} = q_{1},\qquad \frac{\partial H}{\partial p_{2}} = -q_{2},
\frac{\partial H}{\partial q_{1}} = p_{1} - 2a q_{1},\qquad \frac{\partial H}{\partial q_{2}} = -p_{2} + 2b q_{2}.
Observação sobre a última linha: por exemplo \partial (q_{1}p_{1})/\partial q_{1}=p_{1} e \partial(-a q_{1}^{2})/\partial q_{1} = -2a q_{1}; analógico para q_{2}.

Passo 5

Agora aplicamos a definição do colchete de Poisson para u e H. Usando que os termos com \partial u/\partial p_{i} são zero, obtemos
[u,H] = \sum_{i=1}^{2}\left(\frac{\partial u}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial u}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right) = \frac{\partial u}{\partial q_{1}}\frac{\partial H}{\partial p_{1}} + \frac{\partial u}{\partial q_{2}}\frac{\partial H}{\partial p_{2}}.
Substituindo as derivadas calculadas:
[u,H] = (q_{2})(q_{1}) + (q_{1})(-q_{2}).
Portanto
[u,H] = q_{1}q_{2} - q_{1}q_{2} = 0.

Passo 6

Como \dfrac{\partial u}{\partial t}=0 (não há dependência explícita de t em u) e [u,H]=0, pela lei de evolução dada temos
\frac{du}{dt} = [u,H] + \frac{\partial u}{\partial t} = 0 + 0 = 0.
Isto significa que u é conservado ao longo do tempo: u é uma constante do movimento. Bom trabalho — mesmo com pouco tempo, ver que o colchete some por cancelamento direto é um alívio, né?

Resposta

\dfrac{du}{dt}=0, logo \;u=q_{1}q_{2}\; é constante.

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