Calcule os seguintes colchetes de Poisson:
e mostre a seguinte identidade
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular os três colchetes de Poisson entre as componentes do momento angular clássico e provar uma identidade de derivação. As informações que vamos usar são:
- Definição das componentes do momento angular em coordenadas cartesianas (estou pegando essas expressões do enunciado implícito do problema — são as formas padrão):
Aqui
são as coordenadas generalizadas e
os momentos canônicos conjugados (variáveis canônicas).
- Definição do colchete de Poisson entre duas funções
e :
ou seja, somamos sobre as coordenadas
e os momentos correspondentes.
O que vamos calcular explicitamente:
,
,
. Depois provaremos
para funções
quaisquer das variáveis canônicas.
Passo 2
Primeiro eu calculo todas as derivadas parciais necessárias das componentes
. Vou listar cada derivada (é importante para aplicar a fórmula do colchete).
Para
:
Para
:
Para
:
Essas derivadas vêm da regra do produto: por exemplo
e
, etc.
Passo 3
Calculo
aplicando a fórmula do colchete com soma em
:
Avalio termo a termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Mas
.
Somando os três contribuintes dá
Passo 4
Calculo
do mesmo modo:
Termo a termo:
- Para
:
E
.
- Para
:
- Para
:
Somando:
Passo 5
Calculo
:
Termo a termo:
- Para
:
- Para
:
Observe que
, então
.
- Para
:
Somando:
Passo 6
Resumo das três identidades que obtivemos (essa é a forma compacta frequentemente usada):
Essas relações podem ser escritas compactamente com o símbolo de Levi-Civita
como
.
Passo 7
Agora provamos a identidade de derivação
para funções
quaisquer das variáveis canônicas. Começo pela definição do colchete:
Uso a regra do produto nas derivadas parciais:
Substituindo na expressão de
:
Distribuo os termos e reorganizo somando os termos com fator
e com fator
:
Agora fatoro
no primeiro somatório e
no segundo:
Reconheço os colchetes dentro das somas:
Como o colchete é anti-simétrico em seus argumentos, muitas vezes escreve-se também na forma pedida:
que é algebraicamente equivalente ao que acabamos de obter (apenas trocando a ordem dos termos somados). Isso conclui a prova da identidade de derivação (o colchete é derivação em cada fator do produto).