Calcule os seguintes colchetes de Poisson:
\begin{aligned} & {\left[L_{x}, L_{y}\right]} \\\ & {\left[L_{y}, L_{z}\right]} \\\ & {\left[L_{x}, L_{z}\right]} \end{aligned}
e mostre a seguinte identidade
[A B, C]=A[B, C]+[A, C] B.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular os três colchetes de Poisson entre as componentes do momento angular clássico e provar uma identidade de derivação. As informações que vamos usar são:
  • Definição das componentes do momento angular em coordenadas cartesianas (estou pegando essas expressões do enunciado implícito do problema — são as formas padrão):
L_x = y p_z - z p_y,\qquad L_y = z p_x - x p_z,\qquad L_z = x p_y - y p_x.
Aqui x,y,z são as coordenadas generalizadas e p_x,p_y,p_z os momentos canônicos conjugados (variáveis canônicas).
  • Definição do colchete de Poisson entre duas funções F(q,p) e G(q,p):
[F,G] = \sum_{i\in\{x,y,z\}} \left(\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial G}{\partial p_i} - \frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial G}{\partial q_i}\right),
ou seja, somamos sobre as coordenadas q_x=x,q_y=y,q_z=z e os momentos correspondentes.
O que vamos calcular explicitamente: [L_x,L_y], [L_y,L_z], [L_x,L_z]. Depois provaremos
[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B
para funções A,B,C quaisquer das variáveis canônicas.

Passo 2

Primeiro eu calculo todas as derivadas parciais necessárias das componentes L_x,L_y,L_z. Vou listar cada derivada (é importante para aplicar a fórmula do colchete).
Para L_x = y p_z - z p_y:
\frac{\partial L_x}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial L_x}{\partial y}=p_z,\quad \frac{\partial L_x}{\partial z}=-p_y,
\frac{\partial L_x}{\partial p_x}=0,\quad \frac{\partial L_x}{\partial p_y}=-z,\quad \frac{\partial L_x}{\partial p_z}=y.
Para L_y = z p_x - x p_z:
\frac{\partial L_y}{\partial x}=-p_z,\quad \frac{\partial L_y}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial L_y}{\partial z}=p_x,
\frac{\partial L_y}{\partial p_x}=z,\quad \frac{\partial L_y}{\partial p_y}=0,\quad \frac{\partial L_y}{\partial p_z}=-x.
Para L_z = x p_y - y p_x:
\frac{\partial L_z}{\partial x}=p_y,\quad \frac{\partial L_z}{\partial y}=-p_x,\quad \frac{\partial L_z}{\partial z}=0,
\frac{\partial L_z}{\partial p_x}=-y,\quad \frac{\partial L_z}{\partial p_y}=x,\quad \frac{\partial L_z}{\partial p_z}=0.
Essas derivadas vêm da regra do produto: por exemplo \partial (y p_z)/\partial y = p_z e \partial(-z p_y)/\partial p_y = -z, etc.

Passo 3

Calculo [L_x,L_y] aplicando a fórmula do colchete com soma em i=x,y,z:
[L_x,L_y] = \sum_{i=x,y,z}\left(\frac{\partial L_x}{\partial q_i}\frac{\partial L_y}{\partial p_i}-\frac{\partial L_x}{\partial p_i}\frac{\partial L_y}{\partial q_i}\right).
Avalio termo a termo:
  • Para i=x:
\frac{\partial L_x}{\partial x}\frac{\partial L_y}{\partial p_x}-\frac{\partial L_x}{\partial p_x}\frac{\partial L_y}{\partial x} =0\cdot z - 0\cdot(-p_z)=0.
  • Para i=y:
\frac{\partial L_x}{\partial y}\frac{\partial L_y}{\partial p_y}-\frac{\partial L_x}{\partial p_y}\frac{\partial L_y}{\partial y} =p_z\cdot 0 - (-z)\cdot 0 = 0.
  • Para i=z:
\frac{\partial L_x}{\partial z}\frac{\partial L_y}{\partial p_z}-\frac{\partial L_x}{\partial p_z}\frac{\partial L_y}{\partial z} =(-p_y)\cdot(-x) - y\cdot p_x = x p_y - y p_x.
Mas x p_y - y p_x = L_z.
Somando os três contribuintes dá
[L_x,L_y] = L_z.

Passo 4

Calculo [L_y,L_z] do mesmo modo:
[L_y,L_z] = \sum_{i=x,y,z}\left(\frac{\partial L_y}{\partial q_i}\frac{\partial L_z}{\partial p_i}-\frac{\partial L_y}{\partial p_i}\frac{\partial L_z}{\partial q_i}\right).
Termo a termo:
  • Para i=x:
\frac{\partial L_y}{\partial x}\frac{\partial L_z}{\partial p_x}-\frac{\partial L_y}{\partial p_x}\frac{\partial L_z}{\partial x} =(-p_z)\cdot(-y) - z\cdot p_y = y p_z - z p_y.
E y p_z - z p_y = L_x.
  • Para i=y:
\frac{\partial L_y}{\partial y}\frac{\partial L_z}{\partial p_y}-\frac{\partial L_y}{\partial p_y}\frac{\partial L_z}{\partial y} =0\cdot x - 0\cdot(-p_x)=0.
  • Para i=z:
\frac{\partial L_y}{\partial z}\frac{\partial L_z}{\partial p_z}-\frac{\partial L_y}{\partial p_z}\frac{\partial L_z}{\partial z} =p_x\cdot 0 - (-x)\cdot 0 = 0.
Somando:
[L_y,L_z] = L_x.

Passo 5

Calculo [L_x,L_z]:
[L_x,L_z] = \sum_{i=x,y,z}\left(\frac{\partial L_x}{\partial q_i}\frac{\partial L_z}{\partial p_i}-\frac{\partial L_x}{\partial p_i}\frac{\partial L_z}{\partial q_i}\right).
Termo a termo:
  • Para i=x:
0\cdot(-y) - 0\cdot p_y = 0.
  • Para i=y:
\frac{\partial L_x}{\partial y}\frac{\partial L_z}{\partial p_y}-\frac{\partial L_x}{\partial p_y}\frac{\partial L_z}{\partial y} = p_z\cdot x - (-z)\cdot(-p_x) = x p_z - z p_x.
Observe que z p_x - x p_z = L_y, então x p_z - z p_x = -L_y.
  • Para i=z:
(-p_y)\cdot 0 - y\cdot 0 = 0.
Somando:
[L_x,L_z] = -L_y.

Passo 6

Resumo das três identidades que obtivemos (essa é a forma compacta frequentemente usada):
[L_x,L_y]=L_z,\qquad [L_y,L_z]=L_x,\qquad [L_x,L_z]=-L_y.
Essas relações podem ser escritas compactamente com o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk} como [L_i,L_j]=\varepsilon_{ijk}L_k.

Passo 7

Agora provamos a identidade de derivação
[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B
para funções A,B,C quaisquer das variáveis canônicas. Começo pela definição do colchete:
[AB,C]=\sum_{i}\left(\frac{\partial (AB)}{\partial q_i}\frac{\partial C}{\partial p_i}-\frac{\partial (AB)}{\partial p_i}\frac{\partial C}{\partial q_i}\right).
Uso a regra do produto nas derivadas parciais:
\frac{\partial (AB)}{\partial q_i}=\frac{\partial A}{\partial q_i}B + A\frac{\partial B}{\partial q_i}, \qquad \frac{\partial (AB)}{\partial p_i}=\frac{\partial A}{\partial p_i}B + A\frac{\partial B}{\partial p_i}.
Substituindo na expressão de [AB,C]:
[AB,C]=\sum_i\Big(\big(\tfrac{\partial A}{\partial q_i}B + A\tfrac{\partial B}{\partial q_i}\big)\tfrac{\partial C}{\partial p_i} -\big(\tfrac{\partial A}{\partial p_i}B + A\tfrac{\partial B}{\partial p_i}\big)\tfrac{\partial C}{\partial q_i}\Big).
Distribuo os termos e reorganizo somando os termos com fator A e com fator B:
[AB,C]=\sum_i\Big(B\tfrac{\partial A}{\partial q_i}\tfrac{\partial C}{\partial p_i}-B\tfrac{\partial A}{\partial p_i}\tfrac{\partial C}{\partial q_i}\Big) +\sum_i\Big(A\tfrac{\partial B}{\partial q_i}\tfrac{\partial C}{\partial p_i}-A\tfrac{\partial B}{\partial p_i}\tfrac{\partial C}{\partial q_i}\Big).
Agora fatoro B no primeiro somatório e A no segundo:
[AB,C]=B\sum_i\Big(\tfrac{\partial A}{\partial q_i}\tfrac{\partial C}{\partial p_i}-\tfrac{\partial A}{\partial p_i}\tfrac{\partial C}{\partial q_i}\Big) + A\sum_i\Big(\tfrac{\partial B}{\partial q_i}\tfrac{\partial C}{\partial p_i}-\tfrac{\partial B}{\partial p_i}\tfrac{\partial C}{\partial q_i}\Big).
Reconheço os colchetes dentro das somas:
[AB,C]=B[A,C] + A[B,C].
Como o colchete é anti-simétrico em seus argumentos, muitas vezes escreve-se também na forma pedida:
[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B,
que é algebraicamente equivalente ao que acabamos de obter (apenas trocando a ordem dos termos somados). Isso conclui a prova da identidade de derivação (o colchete é derivação em cada fator do produto).

Resposta

[L_x,L_y]=L_z
[L_y,L_z]=L_x
[L_x,L_z]=-L_y
[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B

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