Um projétil disparado pelo famoso fuzil AR15 tem a velocidade de saída do cano, em média, de
.
a) Calcule qual seria a altura que este projétil chegaria, se fosse disparado verticalmente e não houvesse atmosfera;
b) Sabendo que na prática, este projétil quando disparado na vertical, chega a cerca de 3 km de altura, calcule a aceleração imposta ao projétil, pela atmosfera da Terra.
a) Calcule qual seria a altura que este projétil chegaria, se fosse disparado verticalmente e não houvesse atmosfera;
b) Sabendo que na prática, este projétil quando disparado na vertical, chega a cerca de 3 km de altura, calcule a aceleração imposta ao projétil, pela atmosfera da Terra.
Passo 1
O enunciado dá a velocidade de saída do projétil e pede duas coisas:
- (a) Se o projétil for disparado verticalmente e não houver atmosfera, qual seria a altura máxima alcançada?
- (b) Na prática, com atmosfera, o projétil chega a cerca de
; a partir disso, qual é a aceleração imposta ao projétil pela atmosfera (ou seja, a aceleração adicional além da gravidade)?
Informações relevantes fornecidas:
- Velocidade inicial:
- Altura prática observada:
- Usaremos a gravidade padrão:
Passo 2
Vamos usar a relação da cinemática para movimento com aceleração constante que relaciona velocidades e deslocamento sem envolver o tempo. Essa relação é obtida assim: a aceleração é
. Usando
e integrando de
até
e de
até
obtemos a fórmula
onde:
-
é a velocidade inicial, -
é a velocidade no ponto considerado, -
é a aceleração (positiva para aumentar na direção escolhida), -
é o deslocamento vertical (altura).
No caso de subir verticalmente até a altura máxima sem atmosfera, a velocidade no topo é
e a aceleração é
(ela está dirigida para baixo). Substituindo isso na fórmula teremos a expressão para a altura máxima.
Passo 3
Usando a fórmula com
e
:
Isolando
obtemos
Agora substituímos os números. Primeiro calcule
:
O denominador é
. Então
Arredondando de forma razoável:
Interpretação curta: sem resistência do ar esse projétil subiria cerca de
, muito mais alto que os
observados na prática.
Passo 4
Na prática a resistência do ar causa uma desaceleração adicional além da gravidade. Se quisermos estimar uma aceleração média total efetiva
(direcionada para baixo) que reduz a velocidade de
a zero em
, podemos aplicar a mesma fórmula com
e aceleração constante igual a
:
Essa
é a soma das duas contribuições para a desaceleração: a gravidade
e a desaceleração média por arrasto
. Assim:
Passo 5
Calcule
usando
:
Agora a aceleração imposta pela atmosfera (arrasto médio) é
Arredondando:
Passo 6
É útil expressar esse valor em múltiplos da gravidade:
ou seja, a resistência do ar impõe, em média, uma desaceleração equivalente a cerca de
. A desaceleração total média percebida pelo projétil seria
Passo 7
- A conta do item (b) assume uma desaceleração média constante. Na realidade o arrasto depende fortemente da velocidade (normalmente cresce como o quadrado da velocidade) e da densidade do ar ao longo da subida, logo o arrasto não é constante; portanto
calculado é uma média efetiva que explica a redução da altura de (vácuo) para (com ar). - O resultado mostra que a atmosfera reduz fortemente a altura máxima: para explicar a altura observada é necessária uma desaceleração média muito maior que a gravidade sozinha.
Resposta
(a)
(b) (aprox.
).
(b)