Um projétil disparado pelo famoso fuzil AR15 tem a velocidade de saída do cano, em média, de 915 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Calcule qual seria a altura que este projétil chegaria, se fosse disparado verticalmente e não houvesse atmosfera;
b) Sabendo que na prática, este projétil quando disparado na vertical, chega a cerca de 3 km de altura, calcule a aceleração imposta ao projétil, pela atmosfera da Terra.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade de saída do projétil e pede duas coisas:
  • (a) Se o projétil for disparado verticalmente e não houver atmosfera, qual seria a altura máxima alcançada?
  • (b) Na prática, com atmosfera, o projétil chega a cerca de 3\\ \mathrm{km}; a partir disso, qual é a aceleração imposta ao projétil pela atmosfera (ou seja, a aceleração adicional além da gravidade)?
Informações relevantes fornecidas:
  • Velocidade inicial: \;v_{0}=915\\ \mathrm{m/s}.
  • Altura prática observada: \;h_{\text{prática}}=3000\\ \mathrm{m}.á
  • Usaremos a gravidade padrão: \;g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Vamos usar a relação da cinemática para movimento com aceleração constante que relaciona velocidades e deslocamento sem envolver o tempo. Essa relação é obtida assim: a aceleração é \;a=\dfrac{dv}{dt}. Usando v\,dv = a\,dy e integrando de v_{0} até v e de y=0 até y=h obtemos a fórmula
v^{2}=v_{0}^{2}+2a\,h,
onde:
  • v_{0} é a velocidade inicial,
  • v é a velocidade no ponto considerado,
  • a é a aceleração (positiva para aumentar v na direção escolhida),
  • h é o deslocamento vertical (altura).
No caso de subir verticalmente até a altura máxima sem atmosfera, a velocidade no topo é v=0 e a aceleração é a=-g (ela está dirigida para baixo). Substituindo isso na fórmula teremos a expressão para a altura máxima.

Passo 3

Usando a fórmula com v=0 e a=-g:
0=v_{0}^{2}+2(-g)h \quad\Longrightarrow\quad v_{0}^{2}=2g\,h.
Isolando h obtemos
h=\dfrac{v_{0}^{2}}{2g}.
Agora substituímos os números. Primeiro calcule v_{0}^{2}:
v_{0}^{2}=(915)^{2}=837\,225.
O denominador é 2g=2\cdot 9{,}8=19{,}6. Então
h=\dfrac{837\,225}{19{,}6}=42\,726{,}785714\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável:
h\approx 4{,}27\times 10^{4}\\ \mathrm{m}=42{,}7\\ \mathrm{km}.
Interpretação curta: sem resistência do ar esse projétil subiria cerca de 42{,}7\\ \mathrm{km}, muito mais alto que os 3\\ \mathrm{km} observados na prática.

Passo 4

Na prática a resistência do ar causa uma desaceleração adicional além da gravidade. Se quisermos estimar uma aceleração média total efetiva a_{\text{efetiva}} (direcionada para baixo) que reduz a velocidade de v_{0} a zero em h_{\text{prática}}á, podemos aplicar a mesma fórmula com v=0 e aceleração constante igual a -a_{\text{efetiva}}:
0=v_{0}^{2}+2(-a_{\text{efetiva}})h_{\text{prática}} \quad\Longrightarrow\quad a_{\text{efetiva}}=\dfrac{v_{0}^{2}}{2h_{\text{prática}}}.áá
Essa a_{\text{efetiva}} é a soma das duas contribuições para a desaceleração: a gravidade g e a desaceleração média por arrasto a_{\text{arrasto}}. Assim:
a_{\text{efetiva}}=g+a_{\text{arrasto}} \quad\Longrightarrow\quad a_{\text{arrasto}}=a_{\text{efetiva}}-g.

Passo 5

Calcule a_{\text{efetiva}} usando \;h_{\text{prática}}=3000\\ \mathrm{m}á:
a_{\text{efetiva}}=\dfrac{v_{0}^{2}}{2h_{\text{prática}}}=\dfrac{837\,225}{2\cdot 3000}=\dfrac{837\,225}{6000}=139{,}5375\\ \mathrm{m/s^{2}}.á
Agora a aceleração imposta pela atmosfera (arrasto médio) é
a_{\text{arrasto}}=a_{\text{efetiva}}-g=139{,}5375-9{,}8=129{,}7375\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando:
a_{\text{arrasto}}\approx 1{,}30\times 10^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

É útil expressar esse valor em múltiplos da gravidade:
\frac{a_{\text{arrasto}}}{g}=\dfrac{129{,}7375}{9{,}8}\approx 13{,}24,
ou seja, a resistência do ar impõe, em média, uma desaceleração equivalente a cerca de 13{,}2\\ g. A desaceleração total média percebida pelo projétil seria
\frac{a_{\text{efetiva}}}{g}=\dfrac{139{,}5375}{9{,}8}\approx 14{,}24\\ g.

Passo 7

  • A conta do item (b) assume uma desaceleração média constante. Na realidade o arrasto depende fortemente da velocidade (normalmente cresce como o quadrado da velocidade) e da densidade do ar ao longo da subida, logo o arrasto não é constante; portanto a_{\text{arrasto}} calculado é uma média efetiva que explica a redução da altura de 42{,}7\\ \mathrm{km} (vácuo) para 3\\ \mathrm{km} (com ar).
  • O resultado mostra que a atmosfera reduz fortemente a altura máxima: para explicar a altura observada é necessária uma desaceleração média muito maior que a gravidade sozinha.

Resposta

(a) h\approx 4{,}27\times 10^{4}\\ \mathrm{m}=42{,}7\\ \mathrm{km}.
(b) a_{\text{arrasto}}\approx 129{,}7\\ \mathrm{m/s^{2}} (aprox. 13{,}2\\ g).

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