( 1,5 - pontos) Um número é sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100.
(a) Qual a probabilidade de o número ser par?
(b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é menor que 50 ?
(c) Qual a probabilidade de o número ser divisível por 5 , dado que é par?
(a) Qual a probabilidade de o número ser par?
(b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é menor que 50 ?
(c) Qual a probabilidade de o número ser divisível por 5 , dado que é par?
Passo 1
O enunciado diz que sorteamos um número ao acaso entre os
inteiros de
a
. São feitas três perguntas:
(a) Qual a probabilidade de o número ser par?
(b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é menor que ?
(c) Qual a probabilidade de o número ser divisível por , dado que é par?
(a) Qual a probabilidade de o número ser par?
(b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é menor que
(c) Qual a probabilidade de o número ser divisível por
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Espaço amostral original: os inteiros de
até , totalizando resultados igualmente prováveis. - Para (b) a condição "menor que
" significa que estamos restringindo ao conjunto (ou seja, números). - Para (c) a condição “é par” restringe ao conjunto dos números pares entre
e .
Passo 2
Conceito básico usado: quando todos os resultados são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
Vamos aplicar isso para (a).
Contagem dos números pares entre
e
: os pares são
. Isso é uma progressão aritmética com primeiro termo
, último termo
e razão
. O número de termos dessa progressão é
Logo há
números pares entre
e
.
Aplicando a fórmula da probabilidade:
Passo 3
Agora precisamos entender probabilidade condicionada. Definição útil:
se e
são eventos e
, então
se
Intuição prática: ao saber que
ocorreu, o espaço amostral se reduz para
; a probabilidade de
dado
é a fração dos elementos de
que também estão em
. Em problemas com resultados igualmente prováveis, isso vira
Passo 4
Aplicando isso à parte (b): queremos
.
- O conjunto "menor que
" é , que tem elementos (isso vem do enunciado — eu usei o fato de que "menor que " é estrito). - Entre esses
números, quais são pares? São . Novamente é uma PA com primeiro termo , último , razão . O número de termos é
Logo há
números pares menores que
.
Assim, usando a regra da probabilidade condicionada em forma de contagem:
Esse é o resultado exato; em forma decimal é aproximadamente
(mas para prova a fração
é preferível).
Passo 5
Agora a parte (c): queremos
.
Pense: entre os números pares, quais são também divisíveis por ? Um número que é par e divisível por
é divisível por
. Então precisamos contar múltiplos de
entre
e
.
Pense: entre os números pares, quais são também divisíveis por
Os múltiplos de
são
. Estes formam uma PA com primeiro termo
, último termo
, razão
. O número de termos é
Portanto há
números que são ao mesmo tempo pares e divisíveis por
.
O evento condicionante “é par” tem, conforme calculado no Passo 2,
elementos (os
pares entre
e
).
Logo, por contagem direta,
Em decimal isso é
ou
.
Passo 6
Recapitulando de forma prática: (a) contamos os pares no total de
; (b) restringimos o espaço a
e contamos os pares ali; (c) restringimos o espaço aos pares e contamos quantos desses são múltiplos de
(ou seja, de
). Esse tipo de raciocínio (contar favoráveis e dividir pelo total do espaço relevante) é a forma mais direta em exercícios de concurso/prova quando os resultados são igualmente prováveis.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)