( 1,5 - pontos) Um número é sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100.
(a) Qual a probabilidade de o número ser par?
(b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é menor que 50 ?
(c) Qual a probabilidade de o número ser divisível por 5 , dado que é par?

Passo 1

O enunciado diz que sorteamos um número ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100. São feitas três perguntas:
(a) Qual a probabilidade de o número ser par?
(b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é menor que 50?
(c) Qual a probabilidade de o número ser divisível por 5, dado que é par?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Espaço amostral original: os inteiros de 1 até 100, totalizando 100 resultados igualmente prováveis.
  • Para (b) a condição "menor que 50" significa que estamos restringindo ao conjunto \{1,2,\dots,49\} (ou seja, 49 números).
  • Para (c) a condição “é par” restringe ao conjunto dos números pares entre 1 e 100.

Passo 2

Conceito básico usado: quando todos os resultados são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
P(\text{evento})=\frac{\text{nº de resultados favoráveis}}{\text{nº total de resultados}}.ºáº
Vamos aplicar isso para (a).
Contagem dos números pares entre 1 e 100: os pares são 2,4,6,\dots,100. Isso é uma progressão aritmética com primeiro termo 2, último termo 100 e razão 2. O número de termos dessa progressão é
\frac{100-2}{2}+1=\frac{98}{2}+1=49+1=50.
Logo há 50 números pares entre 1 e 100.
Aplicando a fórmula da probabilidade:
P(\text{par})=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}.

Passo 3

Agora precisamos entender probabilidade condicionada. Definição útil:
se A e B são eventos e P(B)>0, então
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Intuição prática: ao saber que B ocorreu, o espaço amostral se reduz para B; a probabilidade de A dado B é a fração dos elementos de B que também estão em A. Em problemas com resultados igualmente prováveis, isso vira
P(A\mid B)=\frac{\text{nº de resultados em }A\cap B}{\text{nº de resultados em }B}.ºº

Passo 4

Aplicando isso à parte (b): queremos P(\text{par}\mid \text{menor que }50).
  • O conjunto "menor que 50" é \{1,2,\dots,49\}, que tem 49 elementos (isso vem do enunciado — eu usei o fato de que "menor que 50" é estrito).
  • Entre esses 49 números, quais são pares? São 2,4,6,\dots,48. Novamente é uma PA com primeiro termo 2, último 48, razão 2. O número de termos é
\frac{48-2}{2}+1=\frac{46}{2}+1=23+1=24.
Logo há 24 números pares menores que 50.
Assim, usando a regra da probabilidade condicionada em forma de contagem:
P(\text{par}\mid \text{menor que }50)=\frac{24}{49}.
Esse é o resultado exato; em forma decimal é aproximadamente 0,4898 (mas para prova a fração \tfrac{24}{49} é preferível).

Passo 5

Agora a parte (c): queremos P(\text{divisível por }5 \mid \text{par})í.
Pense: entre os números pares, quais são também divisíveis por 5? Um número que é par e divisível por 5 é divisível por 10. Então precisamos contar múltiplos de 10 entre 1 e 100.
Os múltiplos de 10 são 10,20,30,\dots,100. Estes formam uma PA com primeiro termo 10, último termo 100, razão 10. O número de termos é
\frac{100-10}{10}+1=\frac{90}{10}+1=9+1=10.
Portanto há 10 números que são ao mesmo tempo pares e divisíveis por 5.
O evento condicionante “é par” tem, conforme calculado no Passo 2, 50 elementos (os 50 pares entre 1 e 100).
Logo, por contagem direta,
P(\text{divisível por }5 \mid \text{par})=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}.í
Em decimal isso é 0,2 ou 20\%.

Passo 6

Recapitulando de forma prática: (a) contamos os pares no total de 100; (b) restringimos o espaço a 1\ldots49 e contamos os pares ali; (c) restringimos o espaço aos pares e contamos quantos desses são múltiplos de 5 (ou seja, de 10). Esse tipo de raciocínio (contar favoráveis e dividir pelo total do espaço relevante) é a forma mais direta em exercícios de concurso/prova quando os resultados são igualmente prováveis.

Resposta

(a) \dfrac{1}{2}
(b) \dfrac{24}{49}
(c) \dfrac{1}{5}

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