8- Um projétil é disparado a partir do nível do chão com uma velocidade de 320 pés/s na boca do canhão e ângulo de elevação de 60^{\circ}. Determine:
a) As equações paramétricas da trajetória do projétil;
b) A altura máxima alcançada pelo projétil;
c) A distância horizontal percorrida pelo projétil;
d) A velocidade do projétil no impacto.

Passo 1

O enunciado trata de movimento de um projétil lançado do solo com velocidade inicial \,v_0=320 ft/s num ângulo de elevação de \,60^\circ. Vamos usar as equações paramétricas do movimento uniformemente acelerado sem resistência do ar, em que no eixo horizontal a velocidade é constante e no vertical há aceleração da gravidade g=32 ft/ s^{2}.

Passo 2

Decompondo a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical:
v_{0x}=v_0\cos(60^\circ)=320\cdot\frac12=160\text{ ft/s},
v_{0y}=v_0\sin(60^\circ)=320\cdot\frac{\sqrt3}{2}=160\sqrt3\text{ ft/s}.

Passo 3

As equações paramétricas são
x(t)=v_{0x}\,t=160\,t,
y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac12\,g\,t^2 =160\sqrt3\,t-16\,t^2.

Passo 4

O tempo para atingir a altura máxima ocorre quando a velocidade vertical anula:
t_p=\frac{v_{0y}}{g}=\frac{160\sqrt3}{32}=5\sqrt3\text{ s}.
Substituindo em y(t):
y(t_p)=160\sqrt3\,(5\sqrt3)-16\,(5\sqrt3)^2 =2400-1200=1200\text{ ft}.

Passo 5

O tempo total de voo até y=0 (além de t=0) é
t_f=2\,\frac{v_{0y}}{g}=2\cdot5\sqrt3=10\sqrt3\text{ s}.
A distância horizontal (alcance) é
x(t_f)=160\,(10\sqrt3)=1600\sqrt3\text{ ft}.

Passo 6

No impacto, a componente horizontal da velocidade continua 160 ft/s e a vertical é
v_y(t_f)=v_{0y}-g\,t_f =160\sqrt3-32\,(10\sqrt3)=-160\sqrt3\text{ ft/s}.
A velocidade escalar fica
\sqrt{(160)^2+(-160\sqrt3)^2} =160\sqrt{1+3}=320\text{ ft/s}.

Resposta

a) x(t)=160\,t,\quad y(t)=160\sqrt3\,t-16\,t^2.
b) 1200 ft
c) 1600\sqrt3 ft
d) 320 ft/s

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