7- Uma partícula move-se pelo espaço tridimensional, de tal forma que o vetor posição no instante t é r(t)=3 \operatorname{sent} i+2 \cos t j-\operatorname{sen} 2 t k ; t=\pi / 2 :
a) Obtenha os componentes tangencial e normal escalares da aceleração no instante t.
b) Obtenha os componentes tangencial e normal vetoriais da aceleração no instante t.
c) Obtenha a curvatura da trajetória no ponto em que a partícula está localizada no instante t indicado.

Passo 1

O enunciado dá a curva de posição
\mathbf{r}(t)=3\sin t\,\mathbf{i}+2\cos t\,\mathbf{j}-\sin2t\,\mathbf{k}
e pede, no instante t=\tfrac{\pi}{2}:
– os componentes escalares tangencial a_T e normal a_N da aceleração;
– os componentes vetoriais \mathbf{a}_T e \mathbf{a}_N da aceleração;
– a curvatura \kappa da trajetória.
Para isso vamos usar as definições
\mathbf{v}=\mathbf{r}',\quad \mathbf{a}=\mathbf{r}'',\quad a_T=\frac{d\|\mathbf{v}\|}{dt}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{\|\mathbf{v}\|},\quad a_N=\frac{\|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\|}{\|\mathbf{v}\|},
\mathbf{T}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|},\quad \mathbf{N}=\frac{\mathbf{a}-a_T\mathbf{T}}{\|\mathbf{a}-a_T\mathbf{T}\|},\quad \mathbf{a}_T=a_T\,\mathbf{T},\quad \mathbf{a}_N=a_N\,\mathbf{N},\quad \kappa=\frac{\|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\|}{\|\mathbf{v}\|^3}.

Passo 2

Calculemos as derivadas
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=3\cos t\,\mathbf{i}-2\sin t\,\mathbf{j}-2\cos2t\,\mathbf{k},
\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=-3\sin t\,\mathbf{i}-2\cos t\,\mathbf{j}+4\sin2t\,\mathbf{k}.
Em t=\tfrac{\pi}{2} temos \sin\tfrac{\pi}{2}=1, \cos\tfrac{\pi}{2}=0, \sin\pi=0, \cos\pi=-1. Logo
\mathbf{v}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0\,\mathbf{i}-2\,\mathbf{j}+2\,\mathbf{k},\qquad \mathbf{a}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-3\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.

Passo 3

O módulo da velocidade em t=\tfrac{\pi}{2} é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
O componente escalar tangencial é
a_T=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{\|\mathbf{v}\|} =\frac{0\cdot(-3)+(-2)\cdot0+2\cdot0}{2\sqrt{2}}=0.
Para a_N calculamos o produto vetorial
\mathbf{v}\times\mathbf{a} =\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 0&-2&2\\\ -3&0&0\end{vmatrix} =0\,\mathbf{i}-6\,\mathbf{j}-6\,\mathbf{k},
\|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\|=\sqrt{0+36+36}=6\sqrt{2}, \quad a_N=\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=3.

Passo 4

O versor tangente em t=\tfrac{\pi}{2} é
\mathbf{T} =\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} =\frac{0\,\mathbf{i}-2\,\mathbf{j}+2\,\mathbf{k}}{2\sqrt{2}} =0\,\mathbf{i}-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\mathbf{j}+\frac{1}{\sqrt{2}}\,\mathbf{k}.
Como a_T=0, o versor normal fica
\mathbf{N} =\frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|} =\frac{-3\,\mathbf{i}}{3}=-\,\mathbf{i}.
Portanto os componentes vetoriais são
\mathbf{a}_T=a_T\,\mathbf{T}=0\quad(\text{vetor nulo}), \qquad \mathbf{a}_N=a_N\,\mathbf{N}=3\bigl(-\mathbf{i}\bigr)=-3\,\mathbf{i}.

Passo 5

A curvatura em t=\tfrac{\pi}{2} é
\kappa =\frac{\|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\|}{\|\mathbf{v}\|^{3}} =\frac{6\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})^{3}} =\frac{6\sqrt{2}}{16\sqrt{2}} =\frac{3}{8}.

Resposta

a) a_T=0, a_N=3.
b) \mathbf{a}_T=\mathbf{0}, \mathbf{a}_N=-3\,\mathbf{i}.
c) \kappa=\tfrac{3}{8}.

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