Determine o fluxo do campo vetorial F=\left(x-y, x+y, z^{2}\right) sobre a superfície (orientada positivamente) do sólido limitado por x^{2}+y^{2}=4, z=1 e z=4.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
F=(x - y,\;x + y,\;z^{2})
através da superfície fechada que é o cilindro de raio 2 entre z=1 e z=4, com orientação positiva (normal apontando para fora).
Conteúdo: Teorema da Divergência de Gauss. Vamos calcular
\iint_{S}F\cdot n\,dS \;=\;\iiint_{V}\bigl(\nabla\cdot F\bigr)\,dV,
onde V é o volume do cilindro.

Passo 2

Calcular a divergência de F. Por definição,
\nabla\cdot F =\frac{\partial}{\partial x}(x-y) +\frac{\partial}{\partial y}(x+y) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}) =1+1+2z =2+2z.

Passo 3

Expressar o volume V em coordenadas cilíndricas: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z, com
0\le r\le 2,\quad 0\le \theta\le 2\pi,\quad 1\le z\le 4,
e dV=r\,dr\,d\theta\,dz. Assim o fluxo é
\iiint_{V}(2+2z)\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{z=1}^{4}\!\int_{r=0}^{2}(2+2z)\,r\,dr\,dz\,d\theta.

Passo 4

Avaliar a integral: primeiro em r,
\int_{0}^{2}(2+2z)\,r\,dr =(2+2z)\int_{0}^{2}r\,dr =(2+2z)\,\frac{2^{2}}{2} =2\,(2+2z) =4+4z.
Depois em z,
\int_{1}^{4}(4+4z)\,dz =4\,(4-1)+4\cdot\frac{4^{2}-1^{2}}{2} =12+2\,(16-1) =12+30 =42.
Finalmente em \theta,
\int_{0}^{2\pi}42\,d\theta =42\cdot 2\pi =84\pi.

Resposta

O fluxo de F pela superfície orientada positivamente vale
84\pi.

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