Um projétil é disparado do topo de uma torre de altura H. Sua velocidade inicial é v0 formando um ângulo theta acima da horizontal. Diante disso:
A que distância da torre o projétil cai?

Passo 1

Então, o problema diz que a gente tem um projétil lançado do topo de uma torre de altura , com velocidade inicial num ângulo acima da horizontal, e pede para descobrir a que distância horizontal da torre ele vai “cair” no chão.
Conteúdo: é um típico exercício de movimento em duas dimensões (cinemática), onde a gente separa o movimento em horizontal (sem aceleração) e vertical (com aceleração da gravidade ). Para resolver, vamos precisar:
  1. decompor a velocidade em componentes horizontal e vertical;
  2. achar o tempo de voo resolvendo a parte vertical;
  3. usar esse tempo pra descobrir a distância horizontal.

Passo 2

Decomposição da velocidade inicial:
  • No eixo vx0 = v0 costheta (horizontal) a velocidade é constante e vale
vy0 = v0 sintheta,
  • No eixo (vertical) a velocidade inicial é
e a aceleração é (o sinal negativo porque a gravidade puxa pra baixo).

Passo 3

Encontrar o tempo de queda:
A equação da posição vertical, tomando y(t) = H + vy0,t - tfrac12,g,t^2 como o chão e 0 = H + v0sintheta;t - tfrac12,g,t^2 como ponto de partida, é
t = v0sintheta + raiz(v0sintheta)^2 + 2gHg
O projétil atinge o chão quando . Então a gente resolve
Isso é uma equação quadrática em . Usando a fórmula de Bhaskara, o tempo positivo é

Passo 4

Calcular o alcance horizontal:
Como no eixo x = vx0;t = l(v0costhetar);t não há aceleração, a distância horizontal percorrida é
x = v0costheta;v0sintheta + raiz(v0sintheta)^2 + 2gHg
Substituindo o que achamos, fica

Resposta

boxedx = v0costhetag,l(v0sintheta + raiz,v0^2sin^2theta + 2,g,H,r)

Exercícios relacionados