Um projétil é disparado do topo de uma torre de altura H. Sua velocidade inicial é v0 formando um ângulo theta acima da horizontal. Diante disso:
Escreva os vetores posição r, velocidade v e aceleração a do projétil em função do tempo.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que a gente tem um projétil lançado do topo de uma torre de altura com velocidade inicial , num ângulo acima da horizontal. O conteúdo é cinemática em duas dimensões (movimento de projétil). Para resolver, vamos precisar:
• Escolher um sistema de eixos (x horizontal, y vertical).
• Decompor a velocidade inicial em componentes e .
• Lembrar que a única aceleração é a da gravidade, apontando pra baixo.
• Integrar aceleração para achar velocidade, e integrar velocidade para achar posição.

Passo 2

Primeiro escolhemos o sistema de eixos:
• Eixo x: horizontal, pra direita.
• Eixo y: vertical, positivo pra cima.
A velocidade inicial v0x = v0costheta, v0y = v0sintheta forma ângulo com a horizontal, então a gente decompõe:

Passo 3

Agora a aceleração. Como só tem gravidade (desprezamos resistência do ar), a aceleração é constante para baixo:
vec a(t) = 0;i - g;j
Aqui é a aceleração da gravidade (por exemplo ). Nada de complicado: em x não tem aceleração, em y cai com aceleração .

Passo 4

Pra achar a velocidade vx(t) = integral 0,dt + v0x = v0costheta , integramos vy(t) = integral (-g),dt + v0y = v0sintheta - g,t em relação ao tempo e somamos a condição inicial:
• Componente x:
vec v(t) = v0costheta;i ;+;l(v0sintheta - g,tr);j
• Componente y:
Então

Passo 5

Pra achar a posição x(t) = integral v0costheta,dt + 0 = v0costheta;t , integramos y(t) = H + integrall(v0sintheta - g,t'r),dt' = H + v0sintheta;t - tfrac12,g,t^2 e somamos a posição inicial. O projétil parte do topo da torre, ou seja vec r(t) = l(v0costheta;tr),i + l(H + v0sintheta;t - tfrac12 g,t^2r),j .
• Componente x:
• Componente y:
Então

Resposta

boxed vec r(t) &= v0costheta;t;i ;+;l(H + v0sintheta;t - tfrac12 g,t^2r);j, vec v(t) &= v0costheta;i ;+;l(v0sintheta - g,tr);j, vec a(t) &= 0;i ;-; g;j

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