Um projétil é lançado de um ponto de coordenadas (2,3,1) com velocidade \mathbf{v}_{\mathbf{o}}=3 \mathbf{i}+4 \mathbf{j}, em um lugar onde o vetor aceleração da gravidade é \mathbf{g}=-10 \mathbf{j} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}(\mathrm{MKS}). Pede-se:
a) para um instante genérico t, os vetores aceleração, velocidade e posição, em coordenadas cartesianas;
b) Qual é a altura máxima atingida pelo projétil?

Passo 1

O enunciado dá um projétil lançado do ponto inicial \,(2,3,1)\, com velocidade inicial \mathbf{v}_{\mathbf{o}}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}. A aceleração da gravidade é \mathbf{g}=-10\mathbf{j}\,\mathrm{m/s^{2}}. As perguntas são:
  1. Para um instante genérico t, determinar os vetores aceleração, velocidade e posição, em coordenadas cartesianas.
  2. Calcular a altura máxima atingida pelo projétil.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{posição inicial } \mathbf{r}_0 = (2,3,1),çã
\text{velocidade inicial } \mathbf{v}_0 = 3\mathbf{i}+4\mathbf{j},
\text{aceleração (gravidade) } \mathbf{g} = -10\mathbf{j}.çã

Passo 2

Entendendo as incógnitas e as convenções: aqui as componentes cartesianas são nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}. Pelo enunciado a gravidade atua na direção \mathbf{j} negativa, portanto a componente vertical é a componente em \mathbf{j}. Vou chamar a aceleração do corpo de \mathbf{a}(t), a velocidade de \mathbf{v}(t) e a posição de \mathbf{r}(t). Em movimento com aceleração constante usamos integração da aceleração para obter velocidade e posição — vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Aceleração: como a aceleração é constante e igual ao vetor da gravidade, temos diretamente
\mathbf{a}(t)=\mathbf{g}=-10\mathbf{j}.
Explicação didática: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Se a aceleração é dada e constante, ela é a mesma para todo t.

Passo 4

Velocidade: para achar \mathbf{v}(t) integramos a aceleração em função do tempo. A fórmula geral para aceleração constante é
\mathbf{v}(t)=\mathbf{v}_0 + \int_0^{t}\mathbf{a}\,dt'=\mathbf{v}_0+\mathbf{a}\,t.
Substituindo \mathbf{v}_0=3\mathbf{i}+4\mathbf{j} e \mathbf{a}=-10\mathbf{j} obtemos
\mathbf{v}(t)=3\mathbf{i}+(4-10t)\mathbf{j}+0\mathbf{k}.
Explicação didática: a componente em \mathbf{i} não recebe aceleração (a componente de \mathbf{a} em \mathbf{i} é zero), então permanece constante igual a 3. A componente em \mathbf{j} começa em 4 e diminui linearmente em 10t devido à gravidade.

Passo 5

Posição: para achar \mathbf{r}(t) integramos a velocidade:
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0 + \int_0^{t}\mathbf{v}(t')\,dt' = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v}_0 t + \tfrac{1}{2}\mathbf{a}t^2.
Agora substituímos \mathbf{r}_0=(2,3,1), \mathbf{v}_0=3\mathbf{i}+4\mathbf{j} e \mathbf{a}=-10\mathbf{j}. Assim:
\mathbf{r}(t) = (2+3t)\mathbf{i} + \bigl(3+4t-5t^2\bigr)\mathbf{j} + (1)\mathbf{k}.
Explicação didática: a fórmula \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_0 t+\tfrac{1}{2}\mathbf{a}t^2 vem da integração da velocidade; para cada componente aplicamos a mesma regra. Note que \tfrac{1}{2}(-10)t^2=-5t^2.

Passo 6

Agora vamos achar a altura máxima. Como a gravidade atua ao longo de \mathbf{j}, a “altura” é a componente y da posição, que é
y(t)=3+4t-5t^2.
A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical é zero, isto é, quando a componente \mathbf{j} de \mathbf{v}(t) se anula:
v_y(t)=4-10t.
Resolvendo 4-10t=0 obtemos
t_{\text{max}}=\frac{4}{10}=0,4\\ \text{s}.
Explicação didática: em movimento vertical com aceleração constante, o ponto mais alto é quando a velocidade vertical passa por zero (mudança de sentido de subida para descida).

Passo 7

Substituímos t_{\text{max}}=0,4 em y(t) para obter a altura máxima:
y_{\text{max}} = 3 + 4(0,4) -5(0,4)^2.
Calculemos passo a passo: 4(0,4)=1,6. (0,4)^2=0,16. Então 5(0,16)=0,8. Portanto
y_{\text{max}} = 3 + 1,6 - 0,8 = 3,8\\ \text{m}.
Comentário final: o tempo em que ocorre essa altura máxima é t=0,4\\ \text{s}. A coordenada x e z nesse instante seriam x=2+3(0,4)=3,2 e z=1, se você quiser a posição completa no pico.

Resposta

\mathbf{a}(t)=-10\mathbf{j}.\\ \mathbf{v}(t)=3\mathbf{i}+(4-10t)\mathbf{j}+0\mathbf{k}.\\ \mathbf{r}(t)=(2+3t)\mathbf{i}+(3+4t-5t^2)\mathbf{j}+1\mathbf{k}.
y_{\text{max}}=3,8\\ \text{m}.

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