Um projétil é lançado de um ponto de coordenadas
com velocidade
, em um lugar onde o vetor aceleração da gravidade é
. Pede-se:
a) para um instante genérico
, os vetores aceleração, velocidade e posição, em coordenadas cartesianas;
b) Qual é a altura máxima atingida pelo projétil?
a) para um instante genérico
b) Qual é a altura máxima atingida pelo projétil?
Passo 1
O enunciado dá um projétil lançado do ponto inicial
com velocidade inicial
. A aceleração da gravidade é
. As perguntas são:
- Para um instante genérico
, determinar os vetores aceleração, velocidade e posição, em coordenadas cartesianas. - Calcular a altura máxima atingida pelo projétil.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Entendendo as incógnitas e as convenções: aqui as componentes cartesianas são nas direções
. Pelo enunciado a gravidade atua na direção
negativa, portanto a componente vertical é a componente em
. Vou chamar a aceleração do corpo de
, a velocidade de
e a posição de
. Em movimento com aceleração constante usamos integração da aceleração para obter velocidade e posição — vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Aceleração: como a aceleração é constante e igual ao vetor da gravidade, temos diretamente
Explicação didática: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Se a aceleração é dada e constante, ela é a mesma para todo
.
Passo 4
Velocidade: para achar
integramos a aceleração em função do tempo. A fórmula geral para aceleração constante é
Substituindo
e
obtemos
Explicação didática: a componente em
não recebe aceleração (a componente de
em
é zero), então permanece constante igual a
. A componente em
começa em
e diminui linearmente em
devido à gravidade.
Passo 5
Posição: para achar
integramos a velocidade:
Agora substituímos
,
e
. Assim:
Explicação didática: a fórmula
vem da integração da velocidade; para cada componente aplicamos a mesma regra. Note que
.
Passo 6
Agora vamos achar a altura máxima. Como a gravidade atua ao longo de
, a “altura” é a componente
da posição, que é
A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical é zero, isto é, quando a componente
de
se anula:
Resolvendo
obtemos
Explicação didática: em movimento vertical com aceleração constante, o ponto mais alto é quando a velocidade vertical passa por zero (mudança de sentido de subida para descida).
Passo 7
Substituímos
em
para obter a altura máxima:
Calculemos passo a passo:
.
. Então
. Portanto
Comentário final: o tempo em que ocorre essa altura máxima é
. A coordenada
e
nesse instante seriam
e
, se você quiser a posição completa no pico.