Um projétil, inicialmente na origem, move-se ao longo de uma trajetória em linha reta através de um meio fluido, de modo que sua velocidade é v=1800(1-e^-0,3 t) mm / s, em que t é dado em segundos. Determine o deslocamento do projétil durante os primeiros 3 s .

Passo 1

Então, o enunciado diz que um projétil parte da origem e tem velocidade
v(t) = 1800l(1 - e^-0,3,tr);mm/s,
para deslocamento s(t) = integral0^t v(tau),dtau em segundos. A questão pede o deslocamento (ou seja, a posição relativa ao ponto de partida) nos primeiros 3 s.
Conteúdo: cálculo de deslocamento a partir da velocidade, usando integração definida. Vamos precisar lembrar que

Passo 2

Escrevendo o deslocamento até s(3) ;=; integral0^3 1800l(1 - e^-0,3,tr),dt s como integral:
Esse é o ponto de partida: integrar e integrar .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes:
s(3) = 1800 integral0^3 1,dt ;-; 1800 integral0^3 e^-0,3t,dt

Passo 4

Substituindo:
s(3) = 1800 times 3 ;-; 1800 l[-tfrac10,3,e^-0,3tr]0^3 = 5400 ;+; 18000,3l(e^-0,3cdot 3 - e^-0r)
Como s(3) = 5400 + 6000l(e^-0,9 - 1r) e , temos

Passo 5

Calculemos numericamente:
e^-0,9approx 0,40657 ;;Longrightarrow;; s(3) = 5400 + 6000,(0,40657 - 1) = 5400 - 6000times 0,59343 approx 5400 - 3560,6 approx 1839,4;mm

Resposta

O projétil se desloca aproximadamente mm nos primeiros 3 s.

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