Um projétil de 8,0 kg é atirado de um canhão com velocidade inicial de 245 m / s e elevação de 45^circ. Em seguida, outro projétil idêntico ao primeiro é atirado com a mesma velocidade inicial, mas a 90^circ.
(a) Determinar as alturas máximas alcançadas pelos projéteis. (b) Mostrar que a energia total no topo da trajetória é a mesma nos dois casos. © Usando o princípio de conservação da energia, calcular a altura máxima alcançada por um projétil idêntico, atirado com a elevação de 30^circ.

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: um projétil de massa m=8,0,kg é disparado com velocidade inicial v0=245,m/s em dois ângulos diferentes: 45^circ e 90^circ.
(a) A gente precisa achar a altura máxima que cada um chega.
(b) Depois mostrar que a energia total no topo é a mesma nos dois casos.
© Por fim, usando conservação de energia, calcular a altura máxima se ele fosse disparado a 30^circ.
Conteúdo: movimento de projétil (decopmos velocidade nas componentes), equação cinemática vertical e conservação de energia. Vamos precisar de
  • decompor v0 em v0y=v0sintheta e v0x=v0costheta,
  • usar a equação vy^2=v0y^2-2gh (no topo vy=0),
  • aplicar Erm inical=Erm topo, com E=12mv^2+ mgh.

Passo 2

Calcular hmax pela parte vertical. No topo vy=0, então:
0 = v0y^2 - 2ghmaxLongrightarrow hmax=v0y^22g,
1) Para theta=45^circ:
v0y=v0sin45^circ=245cdotraiz22approx173,2;rm m/s,
h45=(173,2)^22cdot9,8approx3000019,6approx1530,6;rm m
2) Para theta=90^circ:
v0y=245sin90^circ=245;rm m/s,
h90=245^22cdot9,8=6002519,6approx3063,3;rm m

Passo 3

Energia total no topo:
Erm topo=underbracetfrac12m vx^2KE horizontal+underbracemghmaxPE
– Para 45^circ: vx=v0cos45^circ=173,2,m/s,
E45=tfrac12cdot8cdot(173,2)^2+8cdot9,8cdot1530,6approx4cdot30000+8cdot14993,9approx120000+119951approx239951;rm J
– Para 90^circ: vx=0,
E90=0+8cdot9,8cdot3063,3approx8cdot30015,0approx240120;rm J
De leve diferença de arredondamento, dá praticamente o mesmo valor: energia total é igual nos dois casos.

Passo 4

Agora, ângulo theta=30^circ. Em vez de refazer cinemática, uso conservação de energia:
Erm inicial=tfrac12m v0^2longrightarrow mghmax = tfrac12m v0^2 - tfrac12m vx^2
Como vx=v0cos30^circ, temos
mghmax=tfrac12ml(v0^2 - v0^2cos^2 30^circr)=tfrac12m v0^2sin^2 30^circ
Logo
h30=v0^2sin^2 30^circ2g=245^2cdot(0,5)^22cdot9,8=60025cdot0,2519,6approx15006,2519,6approx765,3;rm m

Resposta

(a) h45approx1530,6,m e h90approx3063,3,m
(b) E45approx2,40times10^5,J e E90approx2,40times10^5,J (iguais)
© h30approx765,3,m

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