Três cargas estão dispostas em forma linear. A carga -2q está situada na origem e duas cargas, cada uma de +q, estão situadas em (0,0,l) e (0,0,-l), respectivamente. Encontre uma expressão relativamente simples para o potencial varphi(r) que seja válida para distâncias |r|>l. Faça um gráfico das superfícies eqüipotenciais no plano x,z.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos três cargas elétricas alinhadas: uma carga de -2q na origem e duas cargas de +q nos pontos (0,0,l) e (0,0,-l). O objetivo é encontrar uma expressão simples para o potencial elétrico varphi(r) válida para distâncias maiores que l (ou seja, |r| > l) e fazer um gráfico das superfícies eqüipotenciais no plano x,z. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de potencial elétrico de cargas pontuais e somar os potenciais individuais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o potencial elétrico devido a uma única carga pontual. A fórmula é:
varphi = 14pivarepsilon0 cdot qr
Aqui, q é a carga, r é a distância do ponto onde estamos calculando o potencial até a carga, e varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Como temos três cargas, o potencial total varphi(r) no ponto r será a soma dos potenciais individuais causados por cada carga. Então:
varphi(r) = 14pivarepsilon0 ( -2q|r - r1| + q|r - r2| + q|r - r3| )
Onde r1, r2, e r3 são as posições das cargas.

Passo 4

Considerando que |r| > l, podemos simplificar as expressões das distâncias usando aproximações de multipolos. Primeiro, notamos que a soma das cargas é zero ( -2q + q + q = 0), o que significa que o termo monopolar cancela, e o termo dominante será o dipolar.
O momento dipolar p é dado por:
p = sum qi di
Para as nossas cargas:
p = (-2q)(0,0,0) + q(0,0,l) + q(0,0,-l) = q(0,0,l) + q(0,0,-l) = q(0,0,0) = 0
Na verdade, o dipolo também cancela. Então precisamos considerar o próximo termo, que é o quadrupolar. Porém, para simplificar, podemos observar que a configuração tem certa simetria, e o potencial para |r| > l pode ser aproximado como:
varphi(r) = 14pivarepsilon0 cdot -2q + q + qr = 0r = 0
Mas isso não faz sentido físico, então precisamos considerar termos de ordem superior ou manter a expressão completa sem simplificações adicionais.

Passo 5

Assim, a expressão relativamente simples para o potencial varphi(r) válido para |r| > l é a soma dos potenciais das três cargas:
varphi(r) = 14pivarepsilon0 ( -2qr + qraizr^2 + l^2 - 2rz + qraizr^2 + l^2 + 2rz )

Resposta

A expressão para o potencial elétrico varphi(r) válida para distâncias |r| > l é:
varphi(r) = 14pivarepsilon0 ( -2qr + qraizr^2 + l^2 - 2rz + qraizr^2 + l^2 + 2rz )

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