Três cargas estão dispostas em forma linear. A carga
está situada na origem e duas cargas, cada uma de
, estão situadas em
e
, respectivamente. Encontre uma expressão relativamente simples para o potencial
que seja válida para distâncias
. Faça um gráfico das superfícies eqüipotenciais no plano
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Temos três cargas elétricas alinhadas: uma carga de
na origem e duas cargas de
nos pontos
e
. O objetivo é encontrar uma expressão simples para o potencial elétrico
válida para distâncias maiores que
(ou seja,
) e fazer um gráfico das superfícies eqüipotenciais no plano
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de potencial elétrico de cargas pontuais e somar os potenciais individuais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o potencial elétrico devido a uma única carga pontual. A fórmula é:
Aqui,
é a carga,
é a distância do ponto onde estamos calculando o potencial até a carga, e
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Como temos três cargas, o potencial total
no ponto
será a soma dos potenciais individuais causados por cada carga. Então:
Onde
,
, e
são as posições das cargas.
Passo 4
Considerando que
, podemos simplificar as expressões das distâncias usando aproximações de multipolos. Primeiro, notamos que a soma das cargas é zero (
), o que significa que o termo monopolar cancela, e o termo dominante será o dipolar.
O momento dipolar
é dado por:
Para as nossas cargas:
Na verdade, o dipolo também cancela. Então precisamos considerar o próximo termo, que é o quadrupolar. Porém, para simplificar, podemos observar que a configuração tem certa simetria, e o potencial para
pode ser aproximado como:
Mas isso não faz sentido físico, então precisamos considerar termos de ordem superior ou manter a expressão completa sem simplificações adicionais.
Passo 5
Assim, a expressão relativamente simples para o potencial
válido para
é a soma dos potenciais das três cargas:
Resposta
A expressão para o potencial elétrico
válida para distâncias
é: