Um projétil é lançado com v_{0}=25 \mathrm{~m} / \mathrm{s} formando ângulo de 37^{\circ} com a horizontal. Considere g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \sin 37^{\circ}=0,6 e \cos 37^{\circ}=0,8. Determine: (a) o tempo total de voo; (b) o alcance; (c) a altura máxima; (d) as componentes da velocidade no instante t=1,5 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá um projétil lançado com velocidade inicial v_{0}=25\\ \mathrm{m/s} formando ângulo de 37^\circ com a horizontal. Foram fornecidos também g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}, \sin37^\circ=0,6 e \cos37^\circ=0,8. As perguntas são:
(a) o tempo total de voo;
(b) o alcance horizontal;
(c) a altura máxima;
(d) as componentes da velocidade no instante t=1,5\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes dadas:
v_{0}=25\\ \mathrm{m/s},\quad \theta=37^\circ,\quad g=10\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad \sin37^\circ=0,6,\quad \cos37^\circ=0,8.

Passo 2

Vamos decompor a velocidade inicial nas componentes horizontal e vertical. A ideia: a velocidade inicial forma um triângulo com as componentes. As fórmulas são
v_{0x}=v_{0}\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_{0}\sin\theta,
onde v_{0x} é a componente horizontal (constante, pois desprezamos resistência do ar) e v_{0y} é a componente vertical (sofre a aceleração -g). Calculando com os valores dados:
v_{0x}=25\cdot 0,8=20\\ \mathrm{m/s},
v_{0y}=25\cdot 0,6=15\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: inicialmente o projétil vai para a direita a 20\\ \mathrm{m/s} e sobe com velocidade vertical 15\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Escrevemos as equações do movimento (MRU na horizontal e MRUV na vertical, com origem no ponto de lançamento):
x(t)=v_{0x}\,t,
v_x(t)=v_{0x},
y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}g t^{2},
v_y(t)=v_{0y}-g t.
Aqui x(t) e y(t) são as posições horizontal e vertical no instante t, e v_x(t),v_y(t) são as componentes da velocidade.

Passo 4

(a) Tempo total de voo. O tempo total é o instante (positivo) em que o projétil volta ao nível de lançamento, ou seja, quando y(t)=0. Usamos
y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}g t^{2}=0.
Fatorando t:
t\left(v_{0y}-\tfrac{1}{2}g t\right)=0.
As soluções são t=0 (lançamento) e t=\dfrac{2v_{0y}}{g} (retorno). Portanto
t_{\text{total}}=\dfrac{2v_{0y}}{g}=\dfrac{2\cdot 15}{10}=3\\ \mathrm{s}.
Interpretação física: simetria do movimento — sobe e desce em tempos iguais; cada metade dura 1,5\\ \mathrm{s}.

Passo 5

(b) Alcance horizontal. O alcance R é a posição x no instante do pouso t_{\text{total}}. Como x(t)=v_{0x}t e v_{0x} é constante:
R=v_{0x}\,t_{\text{total}}=20\cdot 3=60\\ \mathrm{m}.
Observação alternativa (fórmula conhecida): R=\dfrac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}. Se calcularmos daria o mesmo resultado.

Passo 6

(c) Altura máxima. A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical zera: v_y(t_{\text{pico}})=0. Usando v_y(t)=v_{0y}-gt:
0=v_{0y}-g t_{\text{pico}}\quad\Rightarrow\quad t_{\text{pico}}=\dfrac{v_{0y}}{g}=\dfrac{15}{10}=1,5\\ \mathrm{s}.
Agora calculamos y(t_{\text{pico}}). Usando a expressão de y(t):
y_{\text{max}}=v_{0y}\,t_{\text{pico}}-\tfrac{1}{2}g t_{\text{pico}}^{2}.
Substituindo t_{\text{pico}}=1,5\\ \mathrm{s}:
y_{\text{max}}=15\cdot 1,5-\tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot(1,5)^{2}=22,5-11,25=11,25\\ \mathrm{m}.
Forma direta conhecida: y_{\text{max}}=\dfrac{v_{0y}^{2}}{2g}=\dfrac{15^{2}}{20}= \dfrac{225}{20}=11,25\\ \mathrm{m}.

Passo 7

(d) Componentes da velocidade no instante t=1,5\\ \mathrm{s}. Usamos as fórmulas:
v_x(t)=v_{0x}=20\\ \mathrm{m/s},
v_y(t)=v_{0y}-g t=15-10\cdot 1,5=15-15=0\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: em t=1,5\\ \mathrm{s} o projétil está no ponto mais alto (como vimos no passo anterior), então sua velocidade é puramente horizontal, 20\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) t_{\text{total}}=3\\ \mathrm{s}
(b) R=60\\ \mathrm{m}
(c) y_{\text{max}}=11,25\\ \mathrm{m}
(d) v_x(1,5\\ \mathrm{s})=20\\ \mathrm{m/s},\; v_y(1,5\\ \mathrm{s})=0\\ \mathrm{m/s}

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