Um projétil é lançado com
formando ângulo de
com a horizontal. Considere
e
. Determine: (a) o tempo total de voo; (b) o alcance; (c) a altura máxima; (d) as componentes da velocidade no instante
.
Passo 1
O enunciado dá um projétil lançado com velocidade inicial
formando ângulo de
com a horizontal. Foram fornecidos também
,
e
. As perguntas são:
(a) o tempo total de voo;
(b) o alcance horizontal;
(c) a altura máxima;
(d) as componentes da velocidade no instante .
(a) o tempo total de voo;
(b) o alcance horizontal;
(c) a altura máxima;
(d) as componentes da velocidade no instante
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Vamos decompor a velocidade inicial nas componentes horizontal e vertical. A ideia: a velocidade inicial forma um triângulo com as componentes. As fórmulas são
onde
é a componente horizontal (constante, pois desprezamos resistência do ar) e
é a componente vertical (sofre a aceleração
). Calculando com os valores dados:
Interpretação: inicialmente o projétil vai para a direita a
e sobe com velocidade vertical
.
Passo 3
Escrevemos as equações do movimento (MRU na horizontal e MRUV na vertical, com origem no ponto de lançamento):
Aqui
e
são as posições horizontal e vertical no instante
, e
são as componentes da velocidade.
Passo 4
(a) Tempo total de voo. O tempo total é o instante (positivo) em que o projétil volta ao nível de lançamento, ou seja, quando
. Usamos
Fatorando
:
As soluções são
(lançamento) e
(retorno). Portanto
Interpretação física: simetria do movimento — sobe e desce em tempos iguais; cada metade dura
.
Passo 5
(b) Alcance horizontal. O alcance
é a posição
no instante do pouso
. Como
e
é constante:
Observação alternativa (fórmula conhecida):
. Se calcularmos daria o mesmo resultado.
Passo 6
(c) Altura máxima. A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical zera:
. Usando
:
Agora calculamos
. Usando a expressão de
:
Substituindo
:
Forma direta conhecida:
.
Passo 7
(d) Componentes da velocidade no instante
. Usamos as fórmulas:
Interpretação: em
o projétil está no ponto mais alto (como vimos no passo anterior), então sua velocidade é puramente horizontal,
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)