Um projétil é lançado com v_{0}=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} formando ângulo de 30^{\circ} com a horizontal. Adote g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine: (a) o tempo total de voo; (b) o alcance horizontal; (c) a altura máxima.

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e pede (sem resolver ainda):
Dado:
v_{0}=20\\ \mathrm{m/s},\qquad \theta=30^\circ,\qquad g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Perguntas:
(a) determinar o tempo total de voo;
(b) determinar o alcance horizontal;
(c) determinar a altura máxima.

Passo 2

Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical — isso é fundamental em movimento de projéteis.
A componente horizontal v_{0x} e a componente vertical v_{0y} são dadas por
v_{0x}=v_{0}\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_{0}\sin\theta.
Para \theta=30^\circ sabemos (valores trigonométricos básicos) que
\sin 30^\circ=\tfrac{1}{2},\qquad \cos 30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo:
v_{0x}=20\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s},
v_{0y}=20\cdot\frac{1}{2}=10\\ \mathrm{m/s}.
Explicação didática: decompor a velocidade significa separar o movimento em duas direções independentes — horizontal (sem aceleração, se desprezamos resistência do ar) e vertical (com aceleração -g). Isso facilita porque cada direção obedece às equações do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) apropriadas.

Passo 3

Tempo total de voo (item a).
Equação do movimento vertical (tomando y=0 no ponto de lançamento):
y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}gt^{2}.
O tempo total de voo T é o valor de t>0 tal que y(t)=0. Então:
0=v_{0y}T-\tfrac{1}{2}gT^{2}.
Fatorando T:
T\bigg(v_{0y}-\tfrac{1}{2}gT\bigg)=0.
As soluções são T=0 (início) e
v_{0y}-\tfrac{1}{2}gT=0\quad\Rightarrow\quad T=\frac{2v_{0y}}{g}.
Substituindo v_{0y}=10\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}:
T=\frac{2\cdot 10}{10}=2\\ \mathrm{s}.
Interpretação física rápida: como a subida leva tempo v_{0y}/g e a descida leva o mesmo tempo, o total é 2v_{0y}/g.

Passo 4

Alcance horizontal (item b).
A componente horizontal do movimento não tem aceleração (desprezando resistência do ar), então
x(t)=v_{0x}\,t.
O alcance R é x(T) onde T é o tempo total de voo:
R=v_{0x}T.
Substituindo v_{0x}=10\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s} e T=2\\ \mathrm{s}:
R=10\sqrt{3}\cdot 2=20\sqrt{3}\\ \mathrm{m}.
Se quiser uma aproximação numérica, usando \sqrt{3}\approx 1,732:
R\approx 20\cdot 1,732=34,64\\ \mathrm{m}.
Observação didática: existe também a fórmula direta R=\dfrac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}. Aplicando aqui \sin(60^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} dá o mesmo resultado 20\sqrt{3}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Altura máxima (item c).
O instante em que a altura é máxima é quando a velocidade vertical se anula:
v_{y}(t)=v_{0y}-gt.
No pico v_{y}=0, logo o tempo do pico é
t_{\text{pico}}=\frac{v_{0y}}{g}.
A altura máxima H pode ser obtida usando a posição vertical em t_{\text{pico}} ou a fórmula de energia cinética/variação de velocidade; ambas dão
H=\frac{v_{0y}^{2}}{2g}.
Substituindo v_{0y}=10\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}:
H=\frac{10^{2}}{2\cdot 10}=\frac{100}{20}=5\\ \mathrm{m}.
Intuição: a velocidade vertical inicial de 10\\ \mathrm{m/s} é “gasta” para vencer a gravidade até o pico; a expressão v_{0y}^{2}/(2g) vem da equação do MRUV que relaciona velocidade, aceleração e deslocamento.

Passo 6

Checagem rápida e ânimo: resultados simples e consistentes — tempo curto, alcance algumas dezenas de metros e altura pequena. Tá indo bem — essas contas são padrão em prova; decore os passos: decompor, achar T pela condição y=0, calcular R com v_{0x}T e H com v_{0y}^{2}/(2g).

Resposta

(a) T=2\\ \mathrm{s}
(b) R=20\sqrt{3}\\ \mathrm{m}\approx 34,64\\ \mathrm{m}
(c) H=5\\ \mathrm{m}

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