Um projétil é lançado com
formando ângulo de
com a horizontal. Adote
. Determine: (a) o tempo total de voo; (b) o alcance horizontal; (c) a altura máxima.
Passo 1
Resumo do que o enunciado dá e pede (sem resolver ainda):
Dado:
Perguntas:
(a) determinar o tempo total de voo;
(b) determinar o alcance horizontal;
(c) determinar a altura máxima.
(a) determinar o tempo total de voo;
(b) determinar o alcance horizontal;
(c) determinar a altura máxima.
Passo 2
Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical — isso é fundamental em movimento de projéteis.
A componente horizontal
e a componente vertical
são dadas por
Para
sabemos (valores trigonométricos básicos) que
Substituindo:
Explicação didática: decompor a velocidade significa separar o movimento em duas direções independentes — horizontal (sem aceleração, se desprezamos resistência do ar) e vertical (com aceleração
). Isso facilita porque cada direção obedece às equações do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) apropriadas.
Passo 3
Tempo total de voo (item a).
Equação do movimento vertical (tomando
no ponto de lançamento):
O tempo total de voo
é o valor de
tal que
. Então:
Fatorando
:
As soluções são
(início) e
Substituindo
e
:
Interpretação física rápida: como a subida leva tempo
e a descida leva o mesmo tempo, o total é
.
Passo 4
Alcance horizontal (item b).
A componente horizontal do movimento não tem aceleração (desprezando resistência do ar), então
O alcance
é
onde
é o tempo total de voo:
Substituindo
e
:
Se quiser uma aproximação numérica, usando
:
Observação didática: existe também a fórmula direta
. Aplicando aqui
dá o mesmo resultado
.
Passo 5
Altura máxima (item c).
O instante em que a altura é máxima é quando a velocidade vertical se anula:
No pico
, logo o tempo do pico é
A altura máxima
pode ser obtida usando a posição vertical em
ou a fórmula de energia cinética/variação de velocidade; ambas dão
Substituindo
e
:
Intuição: a velocidade vertical inicial de
é “gasta” para vencer a gravidade até o pico; a expressão
vem da equação do MRUV que relaciona velocidade, aceleração e deslocamento.
Passo 6
Checagem rápida e ânimo: resultados simples e consistentes — tempo curto, alcance algumas dezenas de metros e altura pequena. Tá indo bem — essas contas são padrão em prova; decore os passos: decompor, achar
pela condição
, calcular
com
e
com
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)