Um projétil é lançado com velocidade inicial de v_{0}=40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabe-se que ele atinge altura máxima de H=30 \mathrm{~m}. Adote g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
Determine o ângulo de lançamento \theta em relação à horizontal.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
  • Dados fornecidos:
v_{0}=40\\ \mathrm{m/s},\qquad H=30\\ \mathrm{m},\qquad g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Pergunta: determinar o ângulo de lançamento \theta em relação à horizontal.

Passo 2

Entendendo o que acontece verticalmente (aula rápida e prática).
  • A componente vertical da velocidade inicial é \;v_{0y}=v_{0}\sin\theta\;. Aqui \;v_{0y}\; é a velocidade para cima no instante do lançamento, e \theta é o ângulo que queremos.
  • No ponto de altura máxima a velocidade vertical é zero. Usamos a equação cinemática que relaciona velocidades e deslocamento vertical:
v_{y}^{2}=v_{0y}^{2}-2g\Delta y.
  • No topo \;v_{y}=0\; e \Delta y=H, logo:
0=v_{0y}^{2}-2gH.
  • Resolvendo para v_{0y} obtemos a fórmula chave:
v_{0y}^{2}=2gH.
Expliquei cada variável: v_{0y} é a componente vertical da velocidade inicial, g é a aceleração da gravidade, H é a altura máxima.

Passo 3

Ligando v_{0y} com v_{0} e \theta.
  • Sabendo que v_{0y}=v_{0}\sin\theta, substituímos na fórmula anterior:
(v_{0}\sin\theta)^{2}=2gH.
  • Desenvolvendo e isolando \sin\theta:
v_{0}^{2}\sin^{2}\theta=2gH
\sin^{2}\theta=\frac{2gH}{v_{0}^{2}}
\sin\theta=\sqrt{\frac{2gH}{v_{0}^{2}}}.
Aqui tomamos a raiz positiva porque estamos considerando lançamento para cima (ângulo entre 0^\circ e 90^\circ).

Passo 4

Substituindo os valores numéricos (contas passo a passo).
  • Calculemos o numerador:
2gH=2\cdot 10\cdot 30=600.
  • Então
\sin\theta=\sqrt{\frac{600}{40^{2}}}=\sqrt{\frac{600}{1600}}=\sqrt{\frac{600}{1600}}.
  • Simplificando a fração:
\frac{600}{1600}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}=0,375.
  • Portanto
\sin\theta=\sqrt{0,375}\approx 0,6124.

Passo 5

Encontrando \theta usando a função inversa seno.
  • Aplicamos arco-seno:
\theta=\arcsin(0,6124)\approx 37,8^\circ.
Explicação rápida: \arcsin é a função inversa do seno e dá o ângulo cuja razão seno é o valor fornecido. O resultado foi convertido para graus.

Passo 6

Checagem de coerência e interpretação (rápida e motivadora).
  • Se \sin\theta\approx 0,612, então a componente vertical inicial é v_{0y}=v_{0}\sin\theta\approx 40\cdot 0,612\approx 24,5\\ \mathrm{m/s}. Isso faz sentido com a fórmula H=v_{0y}^{2}/(2g), porque 24,5^{2}/(2\cdot 10)\approx 30\\ \mathrm{m}. Está coerente — ótima verificação rápida!
  • Parabéns: com poucas fórmulas e atenção aos passos você já consegue reproduzir isso na prova.

Resposta

\theta\approx 37,8^\circ

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