Um projétil lançado a partir do solo segue a seguinte trajetória:
x(t)=14 t^3+2 t, y(t)=b t-t^2, b>0
com t em segundos e distância em centímetros.
A seguir, use o valor de b obtido no item (a).
Encontre o(s) ponto(s) na curva paramétrica onde a reta tangente é vertical.

Passo 1

Para encontrar onde a reta tangente à curva é vertical, primeiro lembramos que em parametrizações (x(t),y(t)) a tangente é vertical quando dot x(t)=0 (e dot y(t)neq 0).

Passo 2

Calculamos a derivada de (x(t)):
dot x(t)=ddtl(14t^3+2tr)=34t^2+2
Em seguida igualamos dot x(t)=0 para achar os instantes com tangente vertical:
34t^2+2=0 Longrightarrow t^2=-83,
que não tem solução real. Portanto não há instante real em que dot x(t)=0.

Passo 3

Como o valor de b não entra nesse cálculo e a equação dot x(t)=0 já não fornece raiz real, concluímos que não existem pontos na curva onde a reta tangente seja vertical.

Resposta

Não existem pontos de tangente vertical na curva, pois $(3/4)t^2+2$ nunca anula para $t$ real.

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