Um projétil é lançado de um ponto de coordenadas
com velocidade
, em um lugar onde o vetor aceleração da gravidade é
. Calcule:
a) para um instante genérico
, os vetores aceleração, velocidade e posição, em coordenadas cartesianas;
b) Qual o alcance máximo do projétil?
a) para um instante genérico
b) Qual o alcance máximo do projétil?
Passo 1
O enunciado dá os vetores iniciais e pede duas coisas. Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
- Dados fornecidos:
Observação: peguei essas informações diretamente do enunciado.
- Perguntas:
a) Para um instante genérico, determinar os vetores aceleração , velocidade e posição , em coordenadas cartesianas.
b) Calcular o alcance máximo do projétil (interpreto como o alcance horizontal até o projétil atingir o solo, assumindo que o solo corresponde à coordenada vertical).
Passo 2
Entendendo a aceleração: o enunciado já dá o vetor aceleração da gravidade, constante no tempo. Isso significa que a aceleração do projétil é constante e igual a
. Em palavras simples: aceleração é a taxa de variação da velocidade; quando ela é constante, podemos integrar facilmente para obter a velocidade e a posição.
- Regra usada (integração de constantes): se
constante, então e onde e são as condições iniciais de velocidade e posição no instante .
Vou aplicar isso diretamente ao nosso caso.
Passo 3
A aceleração é simplesmente o vetor da gravidade (constante). Portanto, escrevo a aceleração em função de
:
Explicação curta:
não depende de
porque
é constante; a componente em
e em
são zero.
Passo 4
Agora integro
para obter
. Usando a fórmula da integração para aceleração constante:
Substituindo
e
do enunciado:
Explicando em palavras: a componente
permanece
(não há aceleração em
), a componente
começa em
m/s e diminui linearmente com inclinação
m/s², e a componente em
é zero (nenhuma velocidade inicial em
).
Passo 5
Integro
para obter
. Usando a fórmula para movimento com aceleração constante:
Substituindo
,
e
:
-
Componente
: (Não há aceleração em.) -
Componente
: -
Componente
: (Fica constante porque não há velocidade nem aceleração em.)
Juntando em forma vetorial:
Passo 6
Agora calculo o tempo de voo até o projétil atingir o solo. Interpretei o solo como a superfície onde a componente vertical
vale zero, ou seja, resolver
.
Temos
Reescrevo na forma padrão da equação quadrática:
Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
, as raízes são
Aqui
,
,
. Calculo o discriminante:
Logo
As duas raízes são uma negativa e outra positiva. O tempo fisicamente relevante (futuro) é a raiz positiva:
Em valor decimal (apenas para intuição):
, portanto
. (Usei vírgula como separador decimal.)
Passo 7
Com o tempo de impacto
encontrado, calculo o alcance horizontal. Como o movimento em
é nulo, a única componente horizontal que muda é
. O alcance horizontal (deslocamento em
desde
até
) é
Substituindo
:
Em valor decimal, isso dá aproximadamente
Observação: se alguém pedir a posição final absoluta no instante de impacto, seria
Resposta
(a)
(b) Alcance horizontal até atingir o solo: