Um projétil é lançado de um ponto de coordenadas \mathbf{r}_{\mathbf{o}}=2 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}+1 \mathbf{k} com velocidade \mathbf{v}_{\mathbf{o}}=3 \mathbf{i}+4 \mathbf{j}, em um lugar onde o vetor aceleração da gravidade é \mathbf{g}=-10 \mathbf{j} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Calcule:
a) para um instante genérico t, os vetores aceleração, velocidade e posição, em coordenadas cartesianas;
b) Qual o alcance máximo do projétil?

Passo 1

O enunciado dá os vetores iniciais e pede duas coisas. Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
  • Dados fornecidos: \mathbf{r}_0 = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 1\mathbf{k},
\mathbf{v}_0 = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j},
\mathbf{g} = -10\mathbf{j}\\ \mathrm{m/s^2}.
Observação: peguei essas informações diretamente do enunciado.
  • Perguntas:
    a) Para um instante genérico t, determinar os vetores aceleração \mathbf{a}(t), velocidade \mathbf{v}(t) e posição \mathbf{r}(t), em coordenadas cartesianas.
    b) Calcular o alcance máximo do projétil (interpreto como o alcance horizontal até o projétil atingir o solo, assumindo que o solo corresponde à coordenada vertical \mathbf{j}=0).

Passo 2

Entendendo a aceleração: o enunciado já dá o vetor aceleração da gravidade, constante no tempo. Isso significa que a aceleração do projétil é constante e igual a \mathbf{g}. Em palavras simples: aceleração é a taxa de variação da velocidade; quando ela é constante, podemos integrar facilmente para obter a velocidade e a posição.
  • Regra usada (integração de constantes): se \mathbf{a}(t)=\mathbf{a}_0 constante, então \mathbf{v}(t)=\mathbf{v}_0+\mathbf{a}_0 te \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_0 t + \frac{1}{2}\mathbf{a}_0 t^2,onde \mathbf{v}_0 e \mathbf{r}_0 são as condições iniciais de velocidade e posição no instante t=0.
    Vou aplicar isso diretamente ao nosso caso.

Passo 3

A aceleração é simplesmente o vetor da gravidade (constante). Portanto, escrevo a aceleração em função de t:
\mathbf{a}(t)=\mathbf{g}=-10\mathbf{j}.
Explicação curta: \mathbf{a}(t) não depende de t porque \mathbf{g} é constante; a componente em \mathbf{i} e em \mathbf{k} são zero.

Passo 4

Agora integro \mathbf{a}(t) para obter \mathbf{v}(t). Usando a fórmula da integração para aceleração constante:
\mathbf{v}(t)=\mathbf{v}_0+\mathbf{g}t.
Substituindo \mathbf{v}_0 e \mathbf{g} do enunciado:
\mathbf{v}(t)=3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + (-10\mathbf{j})t = 3\mathbf{i} + (4-10t)\mathbf{j}.
Explicando em palavras: a componente \mathbf{i} permanece 3 (não há aceleração em x), a componente \mathbf{j} começa em 4 m/s e diminui linearmente com inclinação -10 m/s², e a componente em \mathbf{k} é zero (nenhuma velocidade inicial em k).

Passo 5

Integro \mathbf{v}(t) para obter \mathbf{r}(t). Usando a fórmula para movimento com aceleração constante:
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_0 t + \tfrac{1}{2}\mathbf{g} t^2.
Substituindo \mathbf{r}_0, \mathbf{v}_0 e \mathbf{g}:
  • Componente \mathbf{i}:
    x(t)=2 + 3t + \tfrac{1}{2}\cdot 0 \cdot t^2 = 2 + 3t.
    (Não há aceleração em \mathbf{i}.)
  • Componente \mathbf{j}:
    y(t)=3 + 4t + \tfrac{1}{2}(-10)t^2 = 3 + 4t -5t^2.
  • Componente \mathbf{k}:
    z(t)=1 + 0\cdot t + \tfrac{1}{2}\cdot 0 \cdot t^2 = 1.
    (Fica constante porque não há velocidade nem aceleração em \mathbf{k}.)
Juntando em forma vetorial:
\mathbf{r}(t) = (2+3t)\mathbf{i} + (3+4t-5t^2)\mathbf{j} + 1\mathbf{k}.

Passo 6

Agora calculo o tempo de voo até o projétil atingir o solo. Interpretei o solo como a superfície onde a componente vertical \mathbf{j} vale zero, ou seja, resolver y(t)=0.
Temos
y(t)=3 + 4t -5t^2 = 0.
Reescrevo na forma padrão da equação quadrática:
5t^2 -4t -3 = 0.
Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação at^2 + bt + c = 0, as raízes são
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
Aqui a=5, b=-4, c=-3. Calculo o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4\cdot 5 \cdot (-3) = 16 + 60 = 76.
Logo
t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{76}}{2\cdot 5} = \frac{4 \pm \sqrt{76}}{10}.
As duas raízes são uma negativa e outra positiva. O tempo fisicamente relevante (futuro) é a raiz positiva:
t_f = \frac{4 + \sqrt{76}}{10} = \frac{2 + \sqrt{19}}{5}.
Em valor decimal (apenas para intuição): \sqrt{19}\approx 4,3589, portanto t_f\approx 1,2717\\ \mathrm{s}. (Usei vírgula como separador decimal.)

Passo 7

Com o tempo de impacto t_f encontrado, calculo o alcance horizontal. Como o movimento em \mathbf{k} é nulo, a única componente horizontal que muda é \mathbf{i}. O alcance horizontal (deslocamento em x desde t=0 até t=t_f) é
\Delta x = x(t_f) - x(0) = \bigl(2+3t_f\bigr) - 2 = 3t_f.
Substituindo t_f=\dfrac{2+\sqrt{19}}{5}:
\Delta x = 3\cdot \frac{2+\sqrt{19}}{5} = \frac{6 + 3\sqrt{19}}{5}.
Em valor decimal, isso dá aproximadamente
\Delta x \approx 3 \cdot 1{,}2717 \approx 3{,}8151\\ \mathrm{m}.
Observação: se alguém pedir a posição final absoluta no instante de impacto, seria
x(t_f)=2+3t_f,\qquad y(t_f)=0,\qquad z(t_f)=1.

Resposta

(a) \mathbf{a}(t) = -10\mathbf{j}.
\mathbf{v}(t) = 3\mathbf{i} + (4-10t)\mathbf{j}.
\mathbf{r}(t) = (2+3t)\mathbf{i} + (3+4t-5t^2)\mathbf{j} + 1\mathbf{k}.
(b) Alcance horizontal até atingir o solo:
\Delta x = \frac{6 + 3\sqrt{19}}{5}\\ \mathrm{m}\\ (\text{aprox. }3{,}8151\\ \mathrm{m}).

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