Se a força sobre a membrana do tímpano aumentar cerca de
acima da força da pressão atmosférica, a membrana pode ser lesionada. Quando você mergulha no oceano, abaixo de qual profundidade seu tímpano poderia começar a ser lesionado? O tímpano normalmente possui 8,2 mm de diâmetro. Considere os valores na tabela a seguir, para esta questão e a próxima, se necessário.
Densidades de algumas substâncias comuns.
Material
Densidade (
)*
Material
Densidade
Ar (
)
1,20
Ferro, aço
Etanol
Bronze
Benzeno
Cobre
Gelo
Prata
Água
Chumbo
Água do mar
Mercúrio
Sangue
Ouro
Glicerina
Platina
Concreto
Estrela anã branca
Alumínio
Estrela de nêutrons
| Densidades de algumas substâncias comuns. | |||
| Material | Densidade (
|
Material | Densidade
|
| Ar (
|
1,20 | Ferro, aço |
|
| Etanol |
|
Bronze |
|
| Benzeno |
|
Cobre |
|
| Gelo |
|
Prata |
|
| Água |
|
Chumbo |
|
| Água do mar |
|
Mercúrio |
|
| Sangue |
|
Ouro |
|
| Glicerina |
|
Platina |
|
| Concreto |
|
Estrela anã branca |
|
| Alumínio |
|
Estrela de nêutrons |
|
Passo 1
O enunciado pede: determinar abaixo de qual profundidade, ao mergulhar no oceano, a membrana do tímpano começaria a correr risco de lesão se a força sobre ela aumentar em cerca de
acima da força da pressão atmosférica.
Dados fornecidos relevantes:
Dados fornecidos relevantes:
- Diâmetro da membrana:
. - A força adicional que causa lesão:
. - Da tabela: densidade da água do mar:
(usei este valor diretamente da tabela). - Constante gravitacional aproximada:
(valor padrão).
O objetivo é achar a profundidadetal que a força adicional da pressão da coluna d’água sobre a área do tímpano seja .
Passo 2
Conceito e fórmula básica (explicando cada termo): a pressão hidrostática aumenta com a profundidade segundo a relação
onde:
-
é a pressão absoluta a profundidade , -
é a pressão na superfície (pressão atmosférica), -
é a densidade do fluido ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a profundidade ( ).
A pressão adicional em relação à superfície (ou seja, o aumento de pressão devido à água) é
Explicação:
é a pressão “extra” que aparece por estar debaixo d’água; essa pressão multiplicada pela área sobre a qual atua dá a força extra.
Passo 3
Relação entre força extra e pressão extra: a força exercida pela pressão sobre a membrana é a pressão vezes a área. Para o aumento:
Aqui:
-
é a força extra tolerada ( ), -
é a pressão adicional , -
é a área da membrana do tímpano (área de um círculo).
Portanto, isolando
,
Passo 4
Calcular a área
da membrana (é um círculo): primeiro convertemos o diâmetro para metros e achamos o raio.
Agora a área:
Calculemos
:
Multiplicando por
(uso
):
Passo 5
Calcular a pressão adicional necessária
a partir de
:
Façamos a divisão:
logo
Interpretação: a pressão extra necessária sobre o tímpano é cerca de
(ou
).
Passo 6
Calcular a profundidade
usando
. Isolando:
Substituindo
,
(valor da tabela) e
:
Agora
Arredondando de forma prática,
.
Pequena verificação rápida (para intuição): como 1 atm
corresponde a ~10 m de água, então
é cerca de
atm, o que corresponde a ~2,8 m — compatível com o cálculo.
Passo 7
Comentário final e incentivo: o resultado mostra que um aumento de apenas
sobre a área pequena do tímpano corresponde a uma profundidade relativamente rasa, cerca de três metros. Isso explica por que mudanças de pressão pequenas (mergulhos rasos sem equalização) podem causar desconforto ou lesão. Você conseguiu — já entendeu a lógica: convertendo unidades, área do círculo, relação pressão-força e fórmula hidrostática, dá para resolver qualquer problema parecido.