Se a força sobre a membrana do tímpano aumentar cerca de 1,5 \mathrm{~N} acima da força da pressão atmosférica, a membrana pode ser lesionada. Quando você mergulha no oceano, abaixo de qual profundidade seu tímpano poderia começar a ser lesionado? O tímpano normalmente possui 8,2 mm de diâmetro. Considere os valores na tabela a seguir, para esta questão e a próxima, se necessário.
Densidades de algumas substâncias comuns.
Material Densidade ( \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} )* Material Densidade \left(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right)^{*}
Ar ( 1 \mathrm{~atm}, 20^{\circ} \mathrm{C} ) 1,20 Ferro, aço 7,8 \times 10^{3}
Etanol 0,81 \times 10^{3} Bronze 8,6 \times 10^{3}
Benzeno 0,90 \times 10^{3} Cobre 8,9 \times 10^{3}
Gelo 0,92 \times 10^{3} Prata 10,5 \times 10^{3}
Água 1,00 \times 10^{3} Chumbo 11,3 \times 10^{3}
Água do mar 1,03 \times 10^{3} Mercúrio 13,6 \times 10^{3}
Sangue 1,06 \times 10^{3} Ouro 19,3 \times 10^{3}
Glicerina 1,26 \times 10^{3} Platina 21,4 \times 10^{3}
Concreto 2 \times 10^{3} Estrela anã branca 10^{10}
Alumínio 2,7 \times 10^{3} Estrela de nêutrons 10^{18}

Passo 1

O enunciado pede: determinar abaixo de qual profundidade, ao mergulhar no oceano, a membrana do tímpano começaria a correr risco de lesão se a força sobre ela aumentar em cerca de \,1,5\\ \mathrm{N}\, acima da força da pressão atmosférica.
Dados fornecidos relevantes:
  • Diâmetro da membrana: \,8{,}2\\ \mathrm{mm}\,.
  • A força adicional que causa lesão: \,\Delta F = 1{,}5\\ \mathrm{N}\,.
  • Da tabela: densidade da água do mar: \,\rho = 1{,}03\times 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}\, (usei este valor diretamente da tabela).
  • Constante gravitacional aproximada: \,g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}\, (valor padrão).
    O objetivo é achar a profundidade \,h\, tal que a força adicional da pressão da coluna d’água sobre a área do tímpano seja \,1{,}5\\ \mathrm{N}.

Passo 2

Conceito e fórmula básica (explicando cada termo): a pressão hidrostática aumenta com a profundidade segundo a relação
p = p_{\text{atm}} + \rho g h,
onde:
  • \,p\, é a pressão absoluta a profundidade h,
  • \,p_{\text{atm}}\, é a pressão na superfície (pressão atmosférica),
  • \,\rho\, é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}}),
  • \,g\, é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}}),
  • \,h\, é a profundidade ( \mathrm{m}).
    A pressão adicional em relação à superfície (ou seja, o aumento de pressão devido à água) é
\Delta p = \rho g h.
Explicação: \Delta p é a pressão “extra” que aparece por estar debaixo d’água; essa pressão multiplicada pela área sobre a qual atua dá a força extra.

Passo 3

Relação entre força extra e pressão extra: a força exercida pela pressão sobre a membrana é a pressão vezes a área. Para o aumento:
\Delta F = \Delta p \cdot A.
Aqui:
  • \,\Delta F\, é a força extra tolerada ( 1{,}5\\ \mathrm{N}),
  • \,\Delta p\, é a pressão adicional \rho g h,
  • \,A\, é a área da membrana do tímpano (área de um círculo).
Portanto, isolando \,h\,,
\Delta F = (\rho g h) A \quad\Rightarrow\quad h = \frac{\Delta F}{\rho g A}.

Passo 4

Calcular a área \,A\, da membrana (é um círculo): primeiro convertemos o diâmetro para metros e achamos o raio.
\text{diâmetro} = 8{,}2\\ \mathrm{mm} = 8{,}2\times 10^{-3}\\ \mathrm{m},â
r = \frac{\text{diâmetro}}{2} = \frac{8{,}2\times 10^{-3}}{2} = 4{,}1\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.â
Agora a área:
A = \pi r^{2}.
Calculemos r^{2}:
r^{2} = (4{,}1\times 10^{-3})^{2} = 16{,}81\times 10^{-6} = 1{,}681\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
Multiplicando por \pi (uso \pi\approx 3{,}1416):
A = \pi \times 1{,}681\times 10^{-5}\approx 3{,}1416\times 1{,}681\times 10^{-5}\approx 5{,}279\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Calcular a pressão adicional necessária \Delta p a partir de \Delta F = 1{,}5\\ \mathrm{N}:
\Delta p = \frac{\Delta F}{A} = \frac{1{,}5}{5{,}279\times 10^{-5}}\\ \mathrm{Pa}.
Façamos a divisão:
\frac{1}{5{,}279\times 10^{-5}}\approx 1{,}8935\times 10^{4},
logo
\Delta p \approx 1{,}5\times 1{,}8935\times 10^{4}\approx 2{,}84\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação: a pressão extra necessária sobre o tímpano é cerca de \,2{,}84\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa} (ou 28{,}4\\ \mathrm{kPa}).

Passo 6

Calcular a profundidade \,h\, usando \Delta p = \rho g h. Isolando:
h = \frac{\Delta p}{\rho g}.
Substituindo \Delta p \approx 2{,}84\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}, \rho = 1{,}03\times 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor da tabela) e g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\rho g = 1{,}03\times 10^{3}\times 9{,}8 = 1{,}03\times 9{,}8\times 10^{3} = 10{,}094\times 10^{3}=1{,}0094\times 10^{4}\\ \mathrm{N/m^{3}}.
Agora
h \approx \frac{2{,}84\times 10^{4}}{1{,}0094\times 10^{4}}\\ \mathrm{m}\approx \frac{2{,}84}{1{,}0094}\\ \mathrm{m}\approx 2{,}82\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática, \,h\approx 2{,}8\\ \mathrm{m}.
Pequena verificação rápida (para intuição): como 1 atm \approx 1{,}01\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa} corresponde a ~10 m de água, então 2{,}84\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa} é cerca de 0{,}28 atm, o que corresponde a ~2,8 m — compatível com o cálculo.

Passo 7

Comentário final e incentivo: o resultado mostra que um aumento de apenas \,1{,}5\\ \mathrm{N} sobre a área pequena do tímpano corresponde a uma profundidade relativamente rasa, cerca de três metros. Isso explica por que mudanças de pressão pequenas (mergulhos rasos sem equalização) podem causar desconforto ou lesão. Você conseguiu — já entendeu a lógica: convertendo unidades, área do círculo, relação pressão-força e fórmula hidrostática, dá para resolver qualquer problema parecido.

Resposta

2{,}8\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados