Um projétil é lançado da superfície de um planeta de massa M e raio R ; a velocidade de lançamento é (\mathrm{GM} / \mathrm{R})^{1 / 2}. Usando a conservação da energia, determine a distância máxima do centro do planeta alcançada pelo projétil. Expresse o resultado em termos de R

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo bem explicitamente):
  • Massa do planeta: M.
  • Raio do planeta: R.
  • Velocidade de lançamento (na superfície): v_0=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}.
  • O projétil parte da superfície do planeta (ou seja, do ponto cuja distância ao centro é r=R).
  • Pergunta: qual é a distância máxima do centro do planeta que o projétil alcança? Essa distância é r_{\max} que queremos achar.
Dados que usei: \,M,\;R,\;v_0=\sqrt{GM/R}\,. Variável incógnita: \,r_{\max}.

Passo 2

Princípio físico a usar: conservação da energia mecânica (não há perda de energia se desprezarmos resistência do ar). Vou explicar as energias envolvidas:
  • Energia cinética de uma partícula de massa m e velocidade v é
K=\tfrac{1}{2} m v^2,
onde m é a massa do projétil (vai aparecer, mas note que costuma cancelar).
  • Energia potencial gravitacional, considerando zero no infinito, é
U(r)=-\dfrac{GMm}{r},
onde r é a distância ao centro do planeta. O sinal negativo aparece porque a energia potencial é menor (mais negativa) quanto mais próximo ao centro; em r\to\infty temos U\to0.
  • A energia mecânica total é E=K+U e permanece constante durante o movimento.
Agora escrevo a energia total inicial (no lançamento), quando r=R e v=v_0.
Calculo K_i e U_i:
K_i=\tfrac{1}{2} m v_0^2=\tfrac{1}{2} m\left(\dfrac{GM}{R}\right)=\dfrac{1}{2}\dfrac{GMm}{R}.
U_i=-\dfrac{GMm}{R}.
Somando,
E = K_i+U_i=\dfrac{1}{2}\dfrac{GMm}{R}-\dfrac{GMm}{R}=-\dfrac{1}{2}\dfrac{GMm}{R}.

Passo 3

No ponto de máxima distância r_{\max} a velocidade instantânea será zero (o projétil para momentaneamente antes de cair), portanto K_{\text{final}}=0. Assim a energia total nesse ponto é apenas potencial:
E=U_{\text{final}}=-\dfrac{GMm}{r_{\max}}.
Como a energia total é conservada, igualo o valor encontrado no lançamento com o valor no ponto máximo:
-\dfrac{1}{2}\dfrac{GMm}{R}=-\dfrac{GMm}{r_{\max}}.

Passo 4

Agora resolvo a equação para r_{\max}. Cancelo os fatores comuns (note que GMm é comum e não nulo):
-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{R}=-\dfrac{1}{r_{\max}} \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{2R}=\dfrac{1}{r_{\max}}.
Inverto ambos os lados:
r_{\max}=2R.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida (útil para a prova): r_{\max}=2R significa que o projétil chega a uma altura acima da superfície igual a r_{\max}-R=R (ou seja, sobe uma distância igual ao raio do planeta). Como a velocidade de escape na superfície é v_{\text{esc}}=\sqrt{2GM/R}, nosso v_0=\sqrt{GM/R}=(1/\sqrt{2})\,v_{\text{esc}} é menor que v_{\text{esc}}, portanto realmente não escapa ao infinito e atinge um máximo finito — consistente com r_{\max}=2R. Força extra de confiança: as massas m do projétil cancelaram, então o resultado independe da massa do projétil.

Resposta

r_{\max}=2R

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