Um projétil é lançado da superfície de um planeta de massa M e raio R ; a velocidade de lançamento é
. Usando a conservação da energia, determine a distância máxima do centro do planeta alcançada pelo projétil. Expresse o resultado em termos de R
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo bem explicitamente):
- Massa do planeta:
. - Raio do planeta:
. - Velocidade de lançamento (na superfície):
. - O projétil parte da superfície do planeta (ou seja, do ponto cuja distância ao centro é
). - Pergunta: qual é a distância máxima do centro do planeta que o projétil alcança? Essa distância é
que queremos achar.
Dados que usei:
. Variável incógnita:
.
Passo 2
Princípio físico a usar: conservação da energia mecânica (não há perda de energia se desprezarmos resistência do ar). Vou explicar as energias envolvidas:
- Energia cinética de uma partícula de massa
e velocidade é
onde
é a massa do projétil (vai aparecer, mas note que costuma cancelar).
- Energia potencial gravitacional, considerando zero no infinito, é
onde
é a distância ao centro do planeta. O sinal negativo aparece porque a energia potencial é menor (mais negativa) quanto mais próximo ao centro; em
temos
.
- A energia mecânica total é
e permanece constante durante o movimento.
Agora escrevo a energia total inicial (no lançamento), quando
e
.
Calculo e
:
Calculo
Somando,
Passo 3
No ponto de máxima distância
a velocidade instantânea será zero (o projétil para momentaneamente antes de cair), portanto
. Assim a energia total nesse ponto é apenas potencial:
Como a energia total é conservada, igualo o valor encontrado no lançamento com o valor no ponto máximo:
Passo 4
Agora resolvo a equação para
. Cancelo os fatores comuns (note que
é comum e não nulo):
Inverto ambos os lados:
Passo 5
Interpretação e checagem rápida (útil para a prova):
significa que o projétil chega a uma altura acima da superfície igual a
(ou seja, sobe uma distância igual ao raio do planeta). Como a velocidade de escape na superfície é
, nosso
é menor que
, portanto realmente não escapa ao infinito e atinge um máximo finito — consistente com
. Força extra de confiança: as massas
do projétil cancelaram, então o resultado independe da massa do projétil.