A força gravitacional entre duas partículas de massas m e M , inicialmente em repouso e muito distantes uma da outra, faz com que elas se juntem. Mostre que, em qualquer instante, a velocidade relativa de qualquer uma das partículas em relação à outra é
, onde
é a distância entre elas nesse instante. (Sugestão: Use as leis de conservação da energia e do momento linear.)
Passo 1
O enunciado dá duas partículas com massas
e
que começam em repouso muito separadas (distância inicial tending to infinito) e atraem-se pela gravitação até ficarem à distância
num certo instante. Pede-se para mostrar que, em qualquer instante, a velocidade relativa de uma em relação à outra vale
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As massas são
e . - Começam em repouso e muito distantes, portanto a energia mecânica inicial pode ser tomada como zero (energia potencial gravitacional tende a zero no infinito e energia cinética inicial é zero).
- No instante considerado a separação é
. - Força gravitacional entre as massas é
(aparece implicitamente). - Pedem a velocidade relativa
entre as partículas quando estão separadas por .
Passo 2
Conservação do momento linear (quantidade de movimento). Como o sistema não sofre forças externas, o momento linear total é constante. Começando em repouso, o momento total inicial é zero, logo para qualquer instante vale:
onde
é a velocidade (em módulo) da massa
e
é a velocidade (em módulo) da massa
, assumindo sentidos opostos. Da igualdade acima, obtemos a relação entre as velocidades (em módulos):
A velocidade relativa (em módulo) entre as partículas é a soma das velocidades em módulo, porque elas se movem em direções opostas:
Passo 3
Expressar
e
em função de
usando a relação de momento. Da equação
segue
Substituindo em
dá
Portanto
Analogamente, isolando
a partir de
e da relação de momento, obtém-se
Passo 4
Expressar a energia cinética total em termos de
. A energia cinética total do sistema é
Substituindo as expressões de
e
obtidas no passo anterior:
Fatorando
e simplificando o numerador:
Cancelando um fator
obtemos
Define-se a massa reduzida
como
Assim,
Essa identidade é muito útil: a energia cinética total do sistema de duas massas que se movem uma em relação à outra pode ser escrita como a energia cinética de uma massa reduzida
movendo-se com a velocidade relativa.
Passo 5
Conservação da energia mecânica. A energia total inicial, com as partículas muito distantes e em repouso, é zero (tomando energia potencial gravitacional nula no infinito). No instante em que a separação é
, a energia potencial gravitacional é
e a energia cinética total é
dada no passo anterior. Conservação da energia dá:
Substituindo
,
Passo 6
Resolver para
. Substituindo
na equação do passo anterior:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
,
Portanto, tomando raiz positiva (velocidade relativa em módulo),