A força gravitacional entre duas partículas de massas m e M , inicialmente em repouso e muito distantes uma da outra, faz com que elas se juntem. Mostre que, em qualquer instante, a velocidade relativa de qualquer uma das partículas em relação à outra é [2 G(M+m) / d]^{1 / 2}, onde d é a distância entre elas nesse instante. (Sugestão: Use as leis de conservação da energia e do momento linear.)

Passo 1

O enunciado dá duas partículas com massas m e M que começam em repouso muito separadas (distância inicial tending to infinito) e atraem-se pela gravitação até ficarem à distância d num certo instante. Pede-se para mostrar que, em qualquer instante, a velocidade relativa de uma em relação à outra vale \bigl[2G(M+m)/d\bigr]^{1/2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As massas são m e M.
  • Começam em repouso e muito distantes, portanto a energia mecânica inicial pode ser tomada como zero (energia potencial gravitacional tende a zero no infinito e energia cinética inicial é zero).
  • No instante considerado a separação é d.
  • Força gravitacional entre as massas é F = G m M / r^2 (aparece implicitamente).
  • Pedem a velocidade relativa entre as partículas quando estão separadas por d.

Passo 2

Conservação do momento linear (quantidade de movimento). Como o sistema não sofre forças externas, o momento linear total é constante. Começando em repouso, o momento total inicial é zero, logo para qualquer instante vale:
m\,v_m + M\,v_M = 0,
onde v_m é a velocidade (em módulo) da massa m e v_M é a velocidade (em módulo) da massa M, assumindo sentidos opostos. Da igualdade acima, obtemos a relação entre as velocidades (em módulos):
m\,v_m = M\,v_M.
A velocidade relativa (em módulo) entre as partículas é a soma das velocidades em módulo, porque elas se movem em direções opostas:
v_{\text{rel}} = v_m + v_M.

Passo 3

Expressar v_m e v_M em função de v_{\text{rel}} usando a relação de momento. Da equação m v_m = M v_M segue
v_M = \frac{m}{M} v_m.
Substituindo em v_{\text{rel}} = v_m + v_M
v_{\text{rel}} = v_m + \frac{m}{M}v_m = v_m\left(1+\frac{m}{M}\right)=v_m\frac{M+m}{M}.
Portanto
v_m = \frac{M}{M+m}\,v_{\text{rel}}.
Analogamente, isolando v_M a partir de v_{\text{rel}} = v_m + v_M e da relação de momento, obtém-se
v_M = \frac{m}{M+m}\,v_{\text{rel}}.

Passo 4

Expressar a energia cinética total em termos de v_{\text{rel}}. A energia cinética total do sistema é
K = \tfrac{1}{2}m v_m^2 + \tfrac{1}{2}M v_M^2.
Substituindo as expressões de v_m e v_M obtidas no passo anterior:
K = \tfrac{1}{2}m\left(\frac{M}{M+m}\,v_{\text{rel}}\right)^2 + \tfrac{1}{2}M\left(\frac{m}{M+m}\,v_{\text{rel}}\right)^2.
Fatorando \tfrac{1}{2}v_{\text{rel}}^2 e simplificando o numerador:
K = \tfrac{1}{2}v_{\text{rel}}^2\frac{mM^2 + M m^2}{(M+m)^2} = \tfrac{1}{2}v_{\text{rel}}^2\frac{mM(M+m)}{(M+m)^2}.
Cancelando um fator M+m obtemos
K = \tfrac{1}{2}\left(\frac{mM}{M+m}\right)v_{\text{rel}}^2.
Define-se a massa reduzida \mu como
\mu \equiv \frac{mM}{M+m}.
Assim,
K = \tfrac{1}{2}\mu\,v_{\text{rel}}^2.
Essa identidade é muito útil: a energia cinética total do sistema de duas massas que se movem uma em relação à outra pode ser escrita como a energia cinética de uma massa reduzida \mu movendo-se com a velocidade relativa.

Passo 5

Conservação da energia mecânica. A energia total inicial, com as partículas muito distantes e em repouso, é zero (tomando energia potencial gravitacional nula no infinito). No instante em que a separação é d, a energia potencial gravitacional é
U(d) = -\frac{G m M}{d},
e a energia cinética total é K dada no passo anterior. Conservação da energia dá:
0 = K + U(d) \quad\Rightarrow\quad K = -U(d) = \frac{G m M}{d}.
Substituindo K = \tfrac{1}{2}\mu v_{\text{rel}}^2,
\tfrac{1}{2}\mu\,v_{\text{rel}}^2 = \frac{G m M}{d}.

Passo 6

Resolver para v_{\text{rel}}. Substituindo \mu = \dfrac{mM}{M+m} na equação do passo anterior:
\tfrac{1}{2}\left(\frac{mM}{M+m}\right)v_{\text{rel}}^2 = \frac{G m M}{d}.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{2(M+m)}{mM} para isolar v_{\text{rel}}^2,
v_{\text{rel}}^2 = \frac{2(M+m)}{mM}\cdot\frac{G m M}{d} = \frac{2G(M+m)}{d}.
Portanto, tomando raiz positiva (velocidade relativa em módulo),
v_{\text{rel}} = \sqrt{\frac{2G(M+m)}{d}}.

Resposta

\displaystyle v_{\text{rel}}=\sqrt{\frac{2G(M+m)}{d}}

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