(UFPA 2016) Um homem (observador) assiste sentado a uma corrida de fórmula 1 , localizado em uma arquibancada lateral à pista de corrida. O observador tem um aparelho que registra a frequēncia principal do motor dos carros tanto na aproximação quanto no afastamento. Sabendo-se que a razão entre as frequências na aproximação e no afastamento é 3 . Determine a velocidade do carro de corrida (considerada constante),
. Dado: a velocidade do som no ar igual a
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine a velocidade do carro (considerada constante) sabendo que a razão entre as frequências registradas pelo observador quando o carro se aproxima e quando se afasta é igual a
. Informações dadas e relevantes:
- Razão entre as frequências na aproximação e no afastamento:
. - Velocidade do som no ar:
. - Observador está parado (fixo na arquibancada) e o carro é a fonte sonora em movimento com velocidade constante
(que queremos achar). - Precisamos fornecer a velocidade do carro em
.
Passo 2
Vamos identificar as fórmulas que descrevem as frequências observadas quando a fonte sonora se move e o observador está em repouso. Essas fórmulas vêm do efeito Doppler para fonte em movimento e observador parado. As expressões são:
- frequência observada quando a fonte se aproxima:
- frequência observada quando a fonte se afasta:
onde:
-
é a velocidade do som (aqui ), -
é a velocidade da fonte (carro), -
é a frequência emitida pela fonte (não é necessária saber seu valor numérico porque vai se cancelar), - os sinais no denominador vêm da compressão (
) quando a fonte aproxima e da rarefação ( ) quando afasta.
Passo 3
Formule a razão dada em termos das expressões acima. Usando as fórmulas do Passo 2:
Note que
e
se cancelam, sobrando apenas uma razão que depende de
e
.
Passo 4
Iguale a razão encontrada ao valor fornecido no enunciado e resolva para
:
Agora resolvemos essa equação passo a passo.
Passo 5
Multiplique ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 6
Desenvolva o lado direito da igualdade:
Passo 7
Agrupe os termos contendo
num mesmo membro e os termos com
no outro:
Passo 8
Some os coeficientes e simplifique:
Passo 9
Isole
:
Ou seja, a velocidade do carro é metade da velocidade do som, segundo a relação dada.
Passo 10
Substitua o valor numérico de
. Como
,
Passo 11
O enunciado pede a velocidade em
. Para converter de
para
multiplicamos por
:
Passo 12
Verificação rápida (confere se a razão realmente dá 3):
portanto está consistente.