(UFPA 2016) Um homem (observador) assiste sentado a uma corrida de fórmula 1 , localizado em uma arquibancada lateral à pista de corrida. O observador tem um aparelho que registra a frequēncia principal do motor dos carros tanto na aproximação quanto no afastamento. Sabendo-se que a razão entre as frequências na aproximação e no afastamento é 3 . Determine a velocidade do carro de corrida (considerada constante), \mathrm{cm} \mathrm{m} / \mathrm{s}. Dado: a velocidade do som no ar igual a 340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a velocidade do carro (considerada constante) sabendo que a razão entre as frequências registradas pelo observador quando o carro se aproxima e quando se afasta é igual a 3. Informações dadas e relevantes:
  • Razão entre as frequências na aproximação e no afastamento: \dfrac{f_{\text{aprox}}}{f_{\text{afast}}}=3.
  • Velocidade do som no ar: v=340\\ \mathrm{m/s}.
  • Observador está parado (fixo na arquibancada) e o carro é a fonte sonora em movimento com velocidade constante v_s (que queremos achar).
  • Precisamos fornecer a velocidade do carro em \mathrm{cm/s}.

Passo 2

Vamos identificar as fórmulas que descrevem as frequências observadas quando a fonte sonora se move e o observador está em repouso. Essas fórmulas vêm do efeito Doppler para fonte em movimento e observador parado. As expressões são:
  • frequência observada quando a fonte se aproxima:
f_{\text{aprox}}=\frac{v}{v - v_s}\,f_0,
  • frequência observada quando a fonte se afasta:
f_{\text{afast}}=\frac{v}{v + v_s}\,f_0,
onde:
  • v é a velocidade do som (aqui 340\\ \mathrm{m/s}),
  • v_s é a velocidade da fonte (carro),
  • f_0 é a frequência emitida pela fonte (não é necessária saber seu valor numérico porque vai se cancelar),
  • os sinais no denominador vêm da compressão ( v - v_s) quando a fonte aproxima e da rarefação ( v + v_s) quando afasta.

Passo 3

Formule a razão dada em termos das expressões acima. Usando as fórmulas do Passo 2:
\frac{f_{\text{aprox}}}{f_{\text{afast}}} =\frac{\dfrac{v}{v - v_s}\,f_0}{\dfrac{v}{v + v_s}\,f_0} =\frac{v}{v - v_s}\cdot\frac{v + v_s}{v}\cdot\frac{f_0}{f_0} =\frac{v + v_s}{v - v_s}.
Note que v e f_0 se cancelam, sobrando apenas uma razão que depende de v e v_s.

Passo 4

Iguale a razão encontrada ao valor fornecido no enunciado e resolva para v_s:
\frac{v + v_s}{v - v_s}=3.
Agora resolvemos essa equação passo a passo.

Passo 5

Multiplique ambos os lados por v - v_s para eliminar o denominador:
v + v_s = 3(v - v_s).

Passo 6

Desenvolva o lado direito da igualdade:
v + v_s = 3v - 3v_s.

Passo 7

Agrupe os termos contendo v_s num mesmo membro e os termos com v no outro:
v_s + 3v_s = 3v - v.

Passo 8

Some os coeficientes e simplifique:
4v_s = 2v.

Passo 9

Isole v_s:
v_s=\frac{2v}{4}=\frac{v}{2}.
Ou seja, a velocidade do carro é metade da velocidade do som, segundo a relação dada.

Passo 10

Substitua o valor numérico de v. Como v=340\\ \mathrm{m/s},
v_s=\frac{340\\ \mathrm{m/s}}{2}=170\\ \mathrm{m/s}.

Passo 11

O enunciado pede a velocidade em \mathrm{cm/s}. Para converter de \mathrm{m/s} para \mathrm{cm/s} multiplicamos por 100:
v_s=170\\ \mathrm{m/s}\times 100 = 17000\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 12

Verificação rápida (confere se a razão realmente dá 3):
\frac{v+v_s}{v - v_s}=\frac{340+170}{340-170}=\frac{510}{170}=3,
portanto está consistente.

Resposta

\;17000\\ \mathrm{cm/s}

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