Um projétil é lançado com velocidade inicial vo a um ângulo theta em relação à horizontal. Desprezando a resistência do ar, escreva as equações de movimento para as coordenadas x e y e a expressão da velocidade v(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um projétil lançado com uma velocidade inicial $ v_0 $ em um ângulo $ \theta $ em relação à horizontal. Isso está dentro do estudo do movimento projetil, que faz parte da cinemática. Para resolver, vamos precisar escrever as equações que descrevem a posição do projétil nas direções $ x $ e $ y $, e também descobrir como é a velocidade $ \vec{v}(t) $ do projétil ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial $ v_0 $ nas direções horizontal e vertical. Isso é importante porque a movimentação em cada direção acontece de forma independente (lembrando que a resistência do ar está sendo desprezada).
A componente horizontal da velocidade é:
v0
E a componente vertical da velocidade é:
v0x = v0 cdot cos(theta)

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações de movimento para as coordenadas $ x $ e $ y $.
Movimento na direção $ x $:
Como não há aceleração horizontal (porque a resistência do ar é desprezada), a velocidade horizontal $ v_{0x} $ permanece constante. Então, a posição em $ x $ ao longo do tempo $ t $ é:
x
Movimento na direção $ y $:
Aqui, temos a aceleração da gravidade agindo para baixo. A posição em $ y $ é determinada pela equação do movimento uniformemente variado:
y
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s^2 $).

Passo 4

Por último, vamos encontrar a expressão da velocidade $ \vec{v}(t) $. A velocidade em qualquer instante é dada pelas derivadas das posições em relação ao tempo.
Componente horizontal da velocidade:
v(t)
Essa componente permanece constante.
Componente vertical da velocidade:
vx(t) = dxdt = v0 cdot cos(theta)
Essa componente varia porque a gravidade está atuando.
Então, a velocidade total $ \vec{v}(t) $ é:
vy(t) = dydt = v0 cdot sin(theta) - g t

Resposta

As equações de movimento são:
x(t) = v0 cos(theta) cdot t y(t) = v0 sin(theta) cdot t - dfrac12 g t^2
E a velocidade ao longo do tempo é:
v(t) = ( v0 cos(theta) ) i + ( v0 sin(theta) - g t ) j

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