Um projétil é lançado com velocidade inicial vo a um ângulo
em relação à horizontal. Desprezando a resistência do ar, escreva as equações de movimento para as coordenadas
e
e a expressão da velocidade
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um projétil lançado com uma velocidade inicial $ v_0 $ em um ângulo $ \theta $ em relação à horizontal. Isso está dentro do estudo do movimento projetil, que faz parte da cinemática. Para resolver, vamos precisar escrever as equações que descrevem a posição do projétil nas direções $ x $ e $ y $, e também descobrir como é a velocidade $ \vec{v}(t) $ do projétil ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a velocidade inicial $ v_0 $ nas direções horizontal e vertical. Isso é importante porque a movimentação em cada direção acontece de forma independente (lembrando que a resistência do ar está sendo desprezada).
A componente horizontal da velocidade é:
E a componente vertical da velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos escrever as equações de movimento para as coordenadas $ x $ e $ y $.
Movimento na direção $ x $:
Como não há aceleração horizontal (porque a resistência do ar é desprezada), a velocidade horizontal $ v_{0x} $ permanece constante. Então, a posição em $ x $ ao longo do tempo $ t $ é:
Como não há aceleração horizontal (porque a resistência do ar é desprezada), a velocidade horizontal $ v_{0x} $ permanece constante. Então, a posição em $ x $ ao longo do tempo $ t $ é:
Movimento na direção $ y $:
Aqui, temos a aceleração da gravidade agindo para baixo. A posição em $ y $ é determinada pela equação do movimento uniformemente variado:
Aqui, temos a aceleração da gravidade agindo para baixo. A posição em $ y $ é determinada pela equação do movimento uniformemente variado:
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s^2 $).
Passo 4
Por último, vamos encontrar a expressão da velocidade $ \vec{v}(t) $. A velocidade em qualquer instante é dada pelas derivadas das posições em relação ao tempo.
Componente horizontal da velocidade:
Essa componente permanece constante.
Componente vertical da velocidade:
Essa componente varia porque a gravidade está atuando.
Então, a velocidade total $ \vec{v}(t) $ é:
Resposta
As equações de movimento são:
E a velocidade ao longo do tempo é: