A posição de uma partícula em movimento retilíneo é dada por
Calcule a velocidade
e a aceleração
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de uma partícula em movimento retilíneo dada por $ x(t) = 4t - t^{2} $. O que a gente precisa fazer é calcular a velocidade $ v(t) $ e a aceleração $ a(t) $ dessa partícula. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para entender como as coisas mudam.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade $ v(t) $. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, ela é a derivada da função posição $ x(t) $ em relação a $ t $. Então, vamos derivar $ x(t) = 4t - t^{2} $.
A derivada de $ 4t $ em relação a $ t $ é $ 4 $, porque a derivada de $ t $ é 1 e multiplicamos pelo coeficiente. Já a derivada de $ -t^{2} $ é $ -2t $, seguindo a regra de potência onde a derivada de $ t^{n} $ é $ n t^{n-1} $.
Então, a velocidade fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração $ a(t) $. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, ela é a derivada da função velocidade $ v(t) $ em relação a $ t $. Como já encontramos $ v(t) = 4 - 2t $, vamos derivar isso.
A derivada de $ 4 $ em relação a $ t $ é $ 0 $, porque uma constante não muda. A derivada de $ -2t $ é $ -2 $, já que a derivada de $ t $ é 1 e multiplicamos pelo coeficiente.
Então, a aceleração fica:
Resposta
A velocidade e a aceleração da partícula são, respectivamente: