Um projétil é lançado com uma velocidade \mathbf{V}_{0} formando um ângulo \boldsymbol{\alpha} com a horizontal. Ao atingir uma altura \mathbf{h} ele explode em duas partes iguais. Uma é lançada verticalmente para cima com velocidade \mathbf{v}_{1}. Qual a distância de separação entre os pontos em que as duas partes atingem o solo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Dado: um projétil é lançado com velocidade inicial V_0 formando ângulo \alpha com a horizontal.
  • Dado: ao atingir a altura h o projétil explode em duas partes iguais (cada uma com massa m).
  • Dado: uma das partes é lançada verticalmente para cima com velocidade v_1 (isto é, após a explosão a primeira peça tem velocidade vertical para cima igual a v_1 e componente horizontal nula).
  • Pergunta: qual é a distância de separação entre os pontos em que as duas partes atingem o solo?
Informações úteis que vou usar depois (não resolvo nada aqui): posição da explosão é a altura h acima do solo; a explosão é rápida de modo que podemos aplicar conservação de momento linear instantânea; a gravidade é g. Não resolvo procedimentos neste passo, só listei o que o enunciado dá e o que é pedido.

Passo 2

Achemos a velocidade do projétil no instante da explosão (antes de a massa se dividir). Essa velocidade tem componentes horizontal e vertical.
  • A componente horizontal é constante durante o voo (não há aceleração horizontal significativa), então
V_x = V_0\cos\alpha.
  • Para a componente vertical use a relação de movimento vertical entre velocidades e deslocamento (fórmula de Torricelli):
v_y^2 = v_{y0}^2 - 2g\Delta y,
onde v_{y0}=V_0\sin\alpha é a componente vertical inicial e \Delta y=h é a elevação até o ponto da explosão. Assim a componente vertical no instante da explosão é
V_y = \sqrt{V_0^2\sin^2\alpha - 2gh}.
Aqui eu escolhi o sinal positivo porque consideramos o projétil ainda subindo (se fosse exatamente no auge V_y=0) — de qualquer forma usamos o valor numérico da velocidade vertical naquele instante.
Explicando a fórmula: \Delta y é o avanço vertical, g é a aceleração da gravidade; essa fórmula vem de integrar a aceleração vertical.

Passo 3

Agora aplicamos conservação do momento linear (momento = massa × velocidade) no instante da explosão. Por que isso é válido? Porque a explosão é praticamente instantânea, então o impulso da força peso durante ela é desprezível; as forças internas (explosão) não alteram o momento total do sistema.
Escrevendo vetor momento antes e depois (as massas são iguais, m e m):
m\mathbf{V} = m\mathbf{v}_1 + m\mathbf{v}_2,
onde \mathbf{V}=(V_x,V_y) é a velocidade do projétil antes da explosão, \mathbf{v}_1 é a velocidade da primeira parte (dada) e \mathbf{v}_2 é a velocidade da segunda parte logo após a explosão.
Dividindo por m:
\mathbf{V} = \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{v}_2 = \mathbf{V}-\mathbf{v}_1.
Isto significa que a velocidade da segunda parte é simplesmente o vetor velocidade original menos o vetor velocidade da primeira parte.

Passo 4

Escrevendo componentes: a primeira parte foi lançada verticalmente para cima com velocidade v_1, então
\mathbf{v}_1 = (0,\;v_1).
A velocidade antes da explosão é \mathbf{V}=(V_0\cos\alpha,\;V_y). Logo a segunda parte tem velocidade
\mathbf{v}_2 = \bigl(V_0\cos\alpha,\;V_y - v_1\bigr).
Portanto:
  • componente horizontal da segunda parte: v_{2x}=V_0\cos\alpha,
  • componente vertical da segunda parte: v_{2y}=V_y - v_1.
Interpretação física: a primeira peça fica sem componente horizontal (lançada verticalmente), e toda a componente horizontal original fica com a segunda peça.

Passo 5

Agora cada parte descreve um movimento sob gravidade a partir da altura h, com as velocidades iniciais que encontramos. Vamos achar o tempo que cada uma demora para atingir o solo (tempo de queda desde a explosão).
Equação vertical do movimento para uma peça (origem no solo, a altura inicial é h):
y(t)=h + v_{y0}\,t - \tfrac{1}{2} g t^2.
O instante de impactar o solo é o t>0 que satisfaz y(t)=0, ou seja
h + v_{y0}\,t - \tfrac{1}{2} g t^2 = 0.
Isso é uma equação quadrática em t. Aplicamos a fórmula de Bhaskara para obter o tempo positivo.
Para a peça 1 (velocidade vertical inicial v_{y0}=v_1):
a equação é
\tfrac{1}{2}g t^2 - v_1 t - h = 0.
A solução positiva é
t_1 = \frac{v_1 + \sqrt{v_1^2 + 2gh}}{g}.
Explicando: a fórmula geral para \tfrac{1}{2}g t^2 - v_1 t - h=0 t = \dfrac{v_1 \pm \sqrt{v_1^2 +2gh}}{g}; tomamos o sinal + para obter o tempo futuro positivo.

Passo 6

Para a peça 2 (velocidade vertical inicial v_{2y}=V_y-v_1) resolvemos analogamente:
\tfrac{1}{2}g t^2 - (V_y - v_1) t - h = 0.
A solução positiva é
t_2 = \frac{V_y - v_1 + \sqrt{(V_y - v_1)^2 + 2gh}}{g}.
Novamente escolhemos o sinal que dá tempo positivo.

Passo 7

Agora achamos a separação horizontal entre os pontos de impacto. Importante: a posição horizontal do ponto de explosão cancela quando calculamos a distância entre as duas quedas, então só precisamos das deslocações horizontais desde a explosão até o solo.
  • Peça 1: após a explosão sua componente horizontal é 0, então a distância horizontal percorrida desde a explosão até o solo é
\Delta x_1 = 0.
  • Peça 2: sua componente horizontal é v_{2x}=V_0\cos\alpha (constante), então a distância horizontal percorrida até o solo é
\Delta x_2 = v_{2x}\,t_2 = V_0\cos\alpha\;t_2.
Como as duas peças saem da mesma posição horizontal na explosão, a distância de separação entre os pontos de impacto é
d = |\Delta x_2 - \Delta x_1| = V_0\cos\alpha\;t_2.

Passo 8

Substituímos t_2 obtido no Passo 6 e também a expressão de V_y do Passo 2. Assim a distância final é
d = \frac{V_0\cos\alpha}{g}\left( V_y - v_1 + \sqrt{(V_y - v_1)^2 + 2gh}\right),
onde
V_y = \sqrt{V_0^2\sin^2\alpha - 2gh}.
Se quiser, pode escrever tudo substituído em uma única fórmula:
d = \frac{V_0\cos\alpha}{g}\!\left(\sqrt{V_0^2\sin^2\alpha - 2gh} - v_1 + \sqrt{\bigl(\sqrt{V_0^2\sin^2\alpha - 2gh}-v_1\bigr)^2 + 2gh}\right).

Passo 9

Pequeno teste de sentido: se v_1=V_y (isto é, a peça 1 fica com exatamente a componente vertical do projétil antes da explosão), então v_{2y}=0 e
t_2=\frac{\sqrt{2gh}}{g}=\sqrt{\frac{2h}{g}},
logo d=V_0\cos\alpha\sqrt{\dfrac{2h}{g}}, que é a distância horizontal que a segunda peça, com velocidade horizontal V_0\cos\alpha e queda livre a partir de h, percorreria — faz sentido físico e serve como checagem.

Resposta

d = \frac{V_0\cos\alpha}{g}\left( \sqrt{V_0^2\sin^2\alpha - 2gh} - v_1 + \sqrt{\bigl(\sqrt{V_0^2\sin^2\alpha - 2gh}-v_1\bigr)^2 + 2gh}\right)

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