Um projétil é lançado com uma velocidade
formando um ângulo
com a horizontal. Ao atingir uma altura
ele explode em duas partes iguais. Uma é lançada verticalmente para cima com velocidade
. Qual a distância de separação entre os pontos em que as duas partes atingem o solo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Dado: um projétil é lançado com velocidade inicial
formando ângulo com a horizontal. - Dado: ao atingir a altura
o projétil explode em duas partes iguais (cada uma com massa ). - Dado: uma das partes é lançada verticalmente para cima com velocidade
(isto é, após a explosão a primeira peça tem velocidade vertical para cima igual a e componente horizontal nula). - Pergunta: qual é a distância de separação entre os pontos em que as duas partes atingem o solo?
Informações úteis que vou usar depois (não resolvo nada aqui): posição da explosão é a altura
acima do solo; a explosão é rápida de modo que podemos aplicar conservação de momento linear instantânea; a gravidade é
. Não resolvo procedimentos neste passo, só listei o que o enunciado dá e o que é pedido.
Passo 2
Achemos a velocidade do projétil no instante da explosão (antes de a massa se dividir). Essa velocidade tem componentes horizontal e vertical.
- A componente horizontal é constante durante o voo (não há aceleração horizontal significativa), então
- Para a componente vertical use a relação de movimento vertical entre velocidades e deslocamento (fórmula de Torricelli):
onde
é a componente vertical inicial e
é a elevação até o ponto da explosão. Assim a componente vertical no instante da explosão é
Aqui eu escolhi o sinal positivo porque consideramos o projétil ainda subindo (se fosse exatamente no auge
) — de qualquer forma usamos o valor numérico da velocidade vertical naquele instante.
Explicando a fórmula:
é o avanço vertical,
é a aceleração da gravidade; essa fórmula vem de integrar a aceleração vertical.
Passo 3
Agora aplicamos conservação do momento linear (momento = massa × velocidade) no instante da explosão. Por que isso é válido? Porque a explosão é praticamente instantânea, então o impulso da força peso durante ela é desprezível; as forças internas (explosão) não alteram o momento total do sistema.
Escrevendo vetor momento antes e depois (as massas são iguais,
e
):
onde
é a velocidade do projétil antes da explosão,
é a velocidade da primeira parte (dada) e
é a velocidade da segunda parte logo após a explosão.
Dividindo por
:
Isto significa que a velocidade da segunda parte é simplesmente o vetor velocidade original menos o vetor velocidade da primeira parte.
Passo 4
Escrevendo componentes: a primeira parte foi lançada verticalmente para cima com velocidade
, então
A velocidade antes da explosão é
. Logo a segunda parte tem velocidade
Portanto:
- componente horizontal da segunda parte:
, - componente vertical da segunda parte:
.
Interpretação física: a primeira peça fica sem componente horizontal (lançada verticalmente), e toda a componente horizontal original fica com a segunda peça.
Passo 5
Agora cada parte descreve um movimento sob gravidade a partir da altura
, com as velocidades iniciais que encontramos. Vamos achar o tempo que cada uma demora para atingir o solo (tempo de queda desde a explosão).
Equação vertical do movimento para uma peça (origem no solo, a altura inicial é
):
O instante de impactar o solo é o
que satisfaz
, ou seja
Isso é uma equação quadrática em
. Aplicamos a fórmula de Bhaskara para obter o tempo positivo.
Para a peça 1 (velocidade vertical inicial
):
a equação é
a equação é
A solução positiva é
Explicando: a fórmula geral para
dá
; tomamos o sinal
para obter o tempo futuro positivo.
Passo 6
Para a peça 2 (velocidade vertical inicial
) resolvemos analogamente:
A solução positiva é
Novamente escolhemos o sinal que dá tempo positivo.
Passo 7
Agora achamos a separação horizontal entre os pontos de impacto. Importante: a posição horizontal do ponto de explosão cancela quando calculamos a distância entre as duas quedas, então só precisamos das deslocações horizontais desde a explosão até o solo.
- Peça 1: após a explosão sua componente horizontal é
, então a distância horizontal percorrida desde a explosão até o solo é
- Peça 2: sua componente horizontal é
(constante), então a distância horizontal percorrida até o solo é
Como as duas peças saem da mesma posição horizontal na explosão, a distância de separação entre os pontos de impacto é
Passo 8
Substituímos
obtido no Passo 6 e também a expressão de
do Passo 2. Assim a distância final é
onde
Se quiser, pode escrever tudo substituído em uma única fórmula:
Passo 9
Pequeno teste de sentido: se
(isto é, a peça 1 fica com exatamente a componente vertical do projétil antes da explosão), então
e
logo
, que é a distância horizontal que a segunda peça, com velocidade horizontal
e queda livre a partir de
, percorreria — faz sentido físico e serve como checagem.