Mostre que as forças externas em um sistema de partículas atuam sobre o centro de massa e explique a razão física por trás desse fato.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar matematicamente que as forças externas aplicadas a um sistema de partículas determinam o movimento do centro de massa, e (ii) explicar a razão física por trás disso.
Informações dadas / assumidas: temos um sistema com partículas, a
-ésima partícula tem massa
, posição
, velocidade
e aceleração
. Cada partícula sofre uma força externa
e forças internas
vindas da partícula
(para
). Vamos usar as leis de Newton (segunda e terceira leis) para partículas.
Informações dadas / assumidas: temos um sistema com
Passo 2
Definimos o centro de massa (CM) e a massa total do sistema. A massa total é
A posição do centro de massa é
Expliquei: aqui
é um vetor que indica a posição do CM; cada
é a posição da partícula
; multiplicamos por
porque partículas mais pesadas influenciam mais a posição do CM; dividimos por
para normalizar.
Passo 3
Derivando
em relação ao tempo obtemos velocidade e aceleração do CM:
Expliquei: a derivada soma as velocidades ponderadas pelas massas; a aceleração do CM é a média ponderada das acelerações.
Passo 4
Aplicamos a segunda lei de Newton a cada partícula
. Para a partícula
:
Expliquei:
é a soma de todas as forças vindas de fora do sistema sobre a partícula
;
é a força que a partícula
exerce sobre a
-ésima (essas são internas ao sistema).
Passo 5
Somamos a equação da segunda lei para todas as partículas
:
Expliquei: no lado esquerdo temos a soma das massas vezes acelerações; no primeiro termo à direita está a soma de todas as forças externas; no segundo termo à direita está a soma de todas as forças internas, escritas como soma dupla.
Passo 6
Mostramos que a soma dupla das forças internas se anula. Pela terceira lei de Newton (lei da ação e reação), para cada par
com
vale
Portanto, ao somar
sobre todos os pares ordenados
com
, cada força aparece com seu contrário e a soma total das forças internas é zero:
Expliquei: isso significa que forças internas apenas trocam impulso entre partículas do sistema; não há ganho líquido de impulso vindo de dentro.
Passo 7
Com a soma das forças internas nula, a equação do Passo 5 fica
Usando a expressão do Passo 3 para
obtemos
Ou seja,
Expliquei: essa é a fórmula-chave — o somatório de todas as forças externas é igual à massa total multiplicada pela aceleração do centro de massa.
Passo 8
Interpretação física (a razão por trás do resultado), passo a passo e com intuição:
- Defina o momento linear total do sistema:
. Pelo Passo 3, . - Diferenciando
obtemos . Pelos passos anteriores . - Ou seja, a taxa de variação do momento linear total (que determina a aceleração do CM) só depende das forças externas; as forças internas trocam momento linear entre partículas mas não alteram o momento total porque elas vêm em pares ação–reação que se cancelam.
- Intuição simples: se dentro do sistema duas partículas se empurram mutuamente, elas mudam suas velocidades individuais, mas o centro de massa do conjunto não recebe um impulso líquido desses empurrões — o impulso interno fica “interno”. Somente forças vindas de fora do sistema conseguem alterar o impulso total e, portanto, acelerar o CM.
Passo 9
Um exemplo rápido para fixar: imagine duas massas iguais
unidas por uma mola, sem forças externas. Se as massas se empurrarem mutuamente (oscilando), cada uma acelera, mas a posição do CM permanece com velocidade constante (ou imóvel) porque
. Se agora aplicar uma força externa constante
em uma das massas, o somatório das forças externas é
e a aceleração do CM será
— como se a força atuasse sobre a massa total concentrada no CM. Isso mostra na prática a afirmação matemática anterior.
Passo 10
Observações finais motivadoras: portanto, sempre que puder — e isso cai direto em prova — lembre que o movimento do centro de massa é governado por
Guarde essa identidade: ela permite tratar um sistema complexo como se toda a massa estivesse concentrada no CM e sujeita à força resultante externa. Se o sistema perde massa (por exemplo, foguetes expelindo gás) ou se campos externos carregam momento (radiação eletromagnética), há que ter cuidado e incluir esses efeitos; mas para um sistema de partículas com forças internas obedecendo à ação e reação a demonstração acima vale e explica fisicamente o porquê. Força nessas provas — você conseguiu entender até aqui!