Mostre que as forças externas em um sistema de partículas atuam sobre o centro de massa e explique a razão física por trás desse fato.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar matematicamente que as forças externas aplicadas a um sistema de partículas determinam o movimento do centro de massa, e (ii) explicar a razão física por trás disso.
Informações dadas / assumidas: temos um sistema com N partículas, a i-ésima partícula tem massa m_i, posição \mathbf{r}_i(t), velocidade \mathbf{v}_i(t)=\dot{\mathbf{r}}_i e aceleração \mathbf{a}_i(t)=\ddot{\mathbf{r}}_i. Cada partícula sofre uma força externa \mathbf{F}_i^{\text{ext}} e forças internas \mathbf{F}_{ij} vindas da partícula j (para j\neq i). Vamos usar as leis de Newton (segunda e terceira leis) para partículas.

Passo 2

Definimos o centro de massa (CM) e a massa total do sistema. A massa total é
M=\sum_{i=1}^{N} m_i.
A posição do centro de massa é
\mathbf{R}(t)=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N} m_i\,\mathbf{r}_i(t).
Expliquei: aqui \mathbf{R} é um vetor que indica a posição do CM; cada \mathbf{r}_i é a posição da partícula i; multiplicamos por m_i porque partículas mais pesadas influenciam mais a posição do CM; dividimos por M para normalizar.

Passo 3

Derivando \mathbf{R}(t) em relação ao tempo obtemos velocidade e aceleração do CM:
\mathbf{V}(t)=\dot{\mathbf{R}}(t)=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N} m_i\,\mathbf{v}_i(t),
\mathbf{A}(t)=\ddot{\mathbf{R}}(t)=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N} m_i\,\mathbf{a}_i(t).
Expliquei: a derivada soma as velocidades ponderadas pelas massas; a aceleração do CM é a média ponderada das acelerações.

Passo 4

Aplicamos a segunda lei de Newton a cada partícula i. Para a partícula i:
m_i\,\mathbf{a}_i=\mathbf{F}_i^{\text{ext}}+\sum_{\substack{j=1\\\ j\neq i}}^{N}\mathbf{F}_{ij}.
Expliquei: \mathbf{F}_i^{\text{ext}} é a soma de todas as forças vindas de fora do sistema sobre a partícula i; \mathbf{F}_{ij} é a força que a partícula j exerce sobre a i-ésima (essas são internas ao sistema).

Passo 5

Somamos a equação da segunda lei para todas as partículas i=1,\dots,N:
\sum_{i=1}^{N} m_i\,\mathbf{a}_i=\sum_{i=1}^{N}\mathbf{F}_i^{\text{ext}}+\sum_{i=1}^{N}\sum_{\substack{j=1\\\ j\neq i}}^{N}\mathbf{F}_{ij}.
Expliquei: no lado esquerdo temos a soma das massas vezes acelerações; no primeiro termo à direita está a soma de todas as forças externas; no segundo termo à direita está a soma de todas as forças internas, escritas como soma dupla.

Passo 6

Mostramos que a soma dupla das forças internas se anula. Pela terceira lei de Newton (lei da ação e reação), para cada par i,j com i\neq j vale
\mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}.
Portanto, ao somar \mathbf{F}_{ij} sobre todos os pares ordenados (i,j) com i\neq j, cada força aparece com seu contrário e a soma total das forças internas é zero:
\sum_{i=1}^{N}\sum_{\substack{j=1\\\ j\neq i}}^{N}\mathbf{F}_{ij}=\mathbf{0}.
Expliquei: isso significa que forças internas apenas trocam impulso entre partículas do sistema; não há ganho líquido de impulso vindo de dentro.

Passo 7

Com a soma das forças internas nula, a equação do Passo 5 fica
\sum_{i=1}^{N} m_i\,\mathbf{a}_i=\sum_{i=1}^{N}\mathbf{F}_i^{\text{ext}}.
Usando a expressão do Passo 3 para \mathbf{A}(t) obtemos
M\,\mathbf{A}(t)=\sum_{i=1}^{N}\mathbf{F}_i^{\text{ext}}.
Ou seja,
\sum_{i=1}^{N}\mathbf{F}_i^{\text{ext}}=M\,\ddot{\mathbf{R}}(t).
Expliquei: essa é a fórmula-chave — o somatório de todas as forças externas é igual à massa total multiplicada pela aceleração do centro de massa.

Passo 8

Interpretação física (a razão por trás do resultado), passo a passo e com intuição:
  • Defina o momento linear total do sistema: \displaystyle \mathbf{P}=\sum_{i=1}^{N} m_i\,\mathbf{v}_i. Pelo Passo 3, \mathbf{P}=M\,\mathbf{V}.
  • Diferenciando \mathbf{P} obtemos \dot{\mathbf{P}}=\sum_{i} m_i\,\mathbf{a}_i. Pelos passos anteriores \dot{\mathbf{P}}=\sum_i\mathbf{F}_i^{\text{ext}}.
  • Ou seja, a taxa de variação do momento linear total (que determina a aceleração do CM) só depende das forças externas; as forças internas trocam momento linear entre partículas mas não alteram o momento total porque elas vêm em pares ação–reação que se cancelam.
  • Intuição simples: se dentro do sistema duas partículas se empurram mutuamente, elas mudam suas velocidades individuais, mas o centro de massa do conjunto não recebe um impulso líquido desses empurrões — o impulso interno fica “interno”. Somente forças vindas de fora do sistema conseguem alterar o impulso total e, portanto, acelerar o CM.

Passo 9

Um exemplo rápido para fixar: imagine duas massas iguais m unidas por uma mola, sem forças externas. Se as massas se empurrarem mutuamente (oscilando), cada uma acelera, mas a posição do CM permanece com velocidade constante (ou imóvel) porque \sum \mathbf{F}^{\text{ext}}=\mathbf{0}. Se agora aplicar uma força externa constante \mathbf{F} em uma das massas, o somatório das forças externas é \mathbf{F} e a aceleração do CM será \mathbf{a}_{CM}=\mathbf{F}/(2m) — como se a força atuasse sobre a massa total concentrada no CM. Isso mostra na prática a afirmação matemática anterior.

Passo 10

Observações finais motivadoras: portanto, sempre que puder — e isso cai direto em prova — lembre que o movimento do centro de massa é governado por
M\,\mathbf{a}_{CM}=\sum \mathbf{F}^{\text{ext}}.
Guarde essa identidade: ela permite tratar um sistema complexo como se toda a massa estivesse concentrada no CM e sujeita à força resultante externa. Se o sistema perde massa (por exemplo, foguetes expelindo gás) ou se campos externos carregam momento (radiação eletromagnética), há que ter cuidado e incluir esses efeitos; mas para um sistema de partículas com forças internas obedecendo à ação e reação a demonstração acima vale e explica fisicamente o porquê. Força nessas provas — você conseguiu entender até aqui!

Resposta

\displaystyle \sum_{i=1}^{N}\mathbf{F}_i^{\text{ext}}=M\,\ddot{\mathbf{R}}(t)\nAs forças externas determinam a aceleração do centro de massa porque as forças internas se anulam por pares (lei da ação e reação) e, portanto, só as forças externas podem variar o momento linear total do sistema.

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