Um bloco de madeira de massa
está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Um projétil de massa
é disparado horizontalmente contra o bloco com velocidade
e fica encravado nele. Determine: a) A velocidade do conjunto (bloco + projétil) após o impacto b) Se o bloco estivesse sobre uma superficie com coeficiente de atrito
, qual distância o conjunto percorreria até parar? (Considere
)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Dados fornecidos:
(massa do bloco),
(massa do projétil),
(velocidade inicial do projétil, horizontal),
a colisão é perfeitamente inelástica (o projétil fica encravado no bloco),
no item (b) o coeficiente de atrito entre conjunto e superfície é ,
e nos é dado .
a colisão é perfeitamente inelástica (o projétil fica encravado no bloco),
no item (b) o coeficiente de atrito entre conjunto e superfície é
e nos é dado
Perguntas:
a) Determinar a velocidade do conjunto (bloco + projétil) imediatamente após o impacto.
b) Se houver atrito com , determinar a distância percorrida pelo conjunto até parar.
a) Determinar a velocidade do conjunto (bloco + projétil) imediatamente após o impacto.
b) Se houver atrito com
Passo 2
Entender o que usamos para resolver (explicação didática do princípio físico).
Quando um projétil se encrava no bloco (colisão perfeitamente inelástica) a quantidade que se conserva durante a colisão, na direção horizontal, é o momento linear (momentum). O momento linear de um sistema é definido como massa vezes velocidade. Para colisões sem forças horizontais externas significativas durante o instante do choque, vale:
Quando um projétil se encrava no bloco (colisão perfeitamente inelástica) a quantidade que se conserva durante a colisão, na direção horizontal, é o momento linear (momentum). O momento linear de um sistema é definido como massa vezes velocidade. Para colisões sem forças horizontais externas significativas durante o instante do choque, vale:
Aqui o bloco está em repouso antes do impacto, então o momento inicial é só do projétil. Explico as variáveis:
-
é a massa do projétil; -
é a massa do bloco; -
é a velocidade inicial do projétil antes do choque; -
será a velocidade comum do conjunto após o choque (procura-se isso no item a).
Passo 3
Aplicando conservação do momento linear na direção horizontal:
o momento inicial é (o bloco está parado).
o momento final é (ambos se movendo juntos).
Então a equação da conservação é
o momento inicial é
o momento final é
Então a equação da conservação é
Isolando
obtemos a fórmula:
Aqui eu explico: multiplicar massa pela velocidade dá o momento; somar massas no denominador porque depois do choque as massas se juntam.
Passo 4
Agora calculamos numericamente
usando os valores dados:
substituindo ,
,
:
substituindo
Para facilitar a conta, note que
e
. Podemos dividir:
(Aqui fiz uma divisão longa:
. Em prova, arredonde para duas casas significativas se pedir — por exemplo
.)
Passo 5
Preparação para o item (b): entender o movimento com atrito.
Depois do impacto, o conjunto (massa ) desliza sobre a superfície com atrito cinético caracterizado por coeficiente
. A força de atrito que atua é dada por
Depois do impacto, o conjunto (massa
onde
é a força normal. Como a superfície é horizontal e não há outras forças verticais além do peso e da normal, temos
. Assim
Essa força é horizontal e oposta ao movimento, produzindo uma desaceleração (negativa) do conjunto. Pela segunda lei de Newton (resultante = massa × aceleração):
onde
é o módulo da desaceleração. Cancelando
(não é zero) obtemos uma expressão simples:
Expliquei: a desaceleração causada pelo atrito cinético numa superfície horizontal independe da massa do corpo, é simplesmente
.
Passo 6
Aplicar cinemática para achar a distância de parada.
Queremos a distância que o conjunto percorre até parar, partindo de velocidade inicial
e desaceleração constante
. Usamos a equação cinemática sem tempo:
Queremos a distância
onde a velocidade final é zero (parou). Isolando
:
Aqui as variáveis são:
-
: velocidade inicial do deslocamento com atrito (é a velocidade pós-impacto); -
: desaceleração positiva (módulo), que já achamos ser ; -
: distância até parar.
Passo 7
Substituir valores numéricos em
.
Usamos obtida antes,
e
.
Primeiro calculemos . Com
,
Usamos
Primeiro calculemos
Agora
.
Logo
Logo
(Arredondando com sentido prático,
.)
Passo 8
Interpretação curta e chego ao fechamento.
O projétil muito leve transfere pouco momento ao bloco pesado; por isso a velocidade do conjunto após o impacto é da ordem de alguns metros por segundo, não centenas. Com atrito moderado e desaceleração
, a distância de parada fica em torno de
. Força de atrito e energia dissipada: observe que a energia cinética do conjunto é dissipada pelo trabalho da força de atrito até a parada.
O projétil muito leve transfere pouco momento ao bloco pesado; por isso a velocidade do conjunto após o impacto é da ordem de alguns metros por segundo, não centenas. Com atrito moderado
Resposta
a)
\n
b)
b)