Um bloco de madeira de massa \mathrm{M}=5,0 \mathrm{~kg} está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Um projétil de massa \mathrm{m}=0,050 \mathrm{~kg} é disparado horizontalmente contra o bloco com velocidade \mathrm{v}_{0}= 400 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e fica encravado nele. Determine: a) A velocidade do conjunto (bloco + projétil) após o impacto b) Se o bloco estivesse sobre uma superficie com coeficiente de atrito \mu=0,20, qual distância o conjunto percorreria até parar? (Considere \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Dados fornecidos:
\mathrm{M}=5{,}0\\ \mathrm{kg} (massa do bloco),
\mathrm{m}=0{,}050\\ \mathrm{kg} (massa do projétil),
\mathrm{v}_{0}=400\\ \mathrm{m/s} (velocidade inicial do projétil, horizontal),
a colisão é perfeitamente inelástica (o projétil fica encravado no bloco),
no item (b) o coeficiente de atrito entre conjunto e superfície é \mu=0{,}20,
e nos é dado \mathrm{g}=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Perguntas:
a) Determinar a velocidade do conjunto (bloco + projétil) imediatamente após o impacto.
b) Se houver atrito com \mu=0{,}20, determinar a distância percorrida pelo conjunto até parar.

Passo 2

Entender o que usamos para resolver (explicação didática do princípio físico).
Quando um projétil se encrava no bloco (colisão perfeitamente inelástica) a quantidade que se conserva durante a colisão, na direção horizontal, é o momento linear (momentum). O momento linear de um sistema é definido como massa vezes velocidade. Para colisões sem forças horizontais externas significativas durante o instante do choque, vale:
\text{momento total antes} = \text{momento total depois}.
Aqui o bloco está em repouso antes do impacto, então o momento inicial é só do projétil. Explico as variáveis:
  • \mathrm{m} é a massa do projétil;
  • \mathrm{M} é a massa do bloco;
  • \mathrm{v}_{0} é a velocidade inicial do projétil antes do choque;
  • \mathrm{v}_{f} será a velocidade comum do conjunto após o choque (procura-se isso no item a).

Passo 3

Aplicando conservação do momento linear na direção horizontal:
o momento inicial é \mathrm{m}\,\mathrm{v}_{0} (o bloco está parado).
o momento final é (\mathrm{M}+\mathrm{m})\,\mathrm{v}_{f} (ambos se movendo juntos).
Então a equação da conservação é
\mathrm{m}\,\mathrm{v}_{0} = (\mathrm{M}+\mathrm{m})\,\mathrm{v}_{f}.
Isolando \mathrm{v}_{f} obtemos a fórmula:
\mathrm{v}_{f} = \frac{\mathrm{m}\,\mathrm{v}_{0}}{\mathrm{M}+\mathrm{m}}.
Aqui eu explico: multiplicar massa pela velocidade dá o momento; somar massas no denominador porque depois do choque as massas se juntam.

Passo 4

Agora calculamos numericamente \mathrm{v}_{f} usando os valores dados:
substituindo \mathrm{m}=0{,}050, \mathrm{v}_{0}=400, \mathrm{M}=5{,}0:
\mathrm{v}_{f} = \frac{0{,}050 \times 400}{5{,}0 + 0{,}050} = \frac{20}{5{,}050}.
Para facilitar a conta, note que 5{,}0+0{,}050=5{,}050 e 0{,}050\times400=20. Podemos dividir:
\mathrm{v}_{f} \approx 3{,}960396\\ \mathrm{m/s}.
(Aqui fiz uma divisão longa: 20/5{,}05 \approx 3{,}9604. Em prova, arredonde para duas casas significativas se pedir — por exemplo 3{,}96\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 5

Preparação para o item (b): entender o movimento com atrito.
Depois do impacto, o conjunto (massa \mathrm{M}+\mathrm{m}) desliza sobre a superfície com atrito cinético caracterizado por coeficiente \mu. A força de atrito que atua é dada por
F_{\text{atrito}} = \mu\,N,
onde N é a força normal. Como a superfície é horizontal e não há outras forças verticais além do peso e da normal, temos N=(\mathrm{M}+\mathrm{m})\,g. Assim
F_{\text{atrito}} = \mu\,(\mathrm{M}+\mathrm{m})\,g.
Essa força é horizontal e oposta ao movimento, produzindo uma desaceleração (negativa) do conjunto. Pela segunda lei de Newton (resultante = massa × aceleração):
-(\mathrm{M}+\mathrm{m})\,a = -F_{\text{atrito}} = -\mu\,(\mathrm{M}+\mathrm{m})\,g,
onde a é o módulo da desaceleração. Cancelando (\mathrm{M}+\mathrm{m}) (não é zero) obtemos uma expressão simples:
a = \mu\,g.
Expliquei: a desaceleração causada pelo atrito cinético numa superfície horizontal independe da massa do corpo, é simplesmente \mu g.

Passo 6

Aplicar cinemática para achar a distância de parada.
Queremos a distância d que o conjunto percorre até parar, partindo de velocidade inicial \mathrm{v}_{f} e desaceleração constante a=\mu g. Usamos a equação cinemática sem tempo:
0 = \mathrm{v}_{f}^{2} - 2 a d,
onde a velocidade final é zero (parou). Isolando d:
d = \frac{\mathrm{v}_{f}^{2}}{2 a}.
Aqui as variáveis são:
  • \mathrm{v}_{f}: velocidade inicial do deslocamento com atrito (é a velocidade pós-impacto);
  • a: desaceleração positiva (módulo), que já achamos ser \mu g;
  • d: distância até parar.

Passo 7

Substituir valores numéricos em d = \dfrac{\mathrm{v}_{f}^{2}}{2\mu g}.
Usamos \mathrm{v}_{f} obtida antes, \mu=0{,}20 e g=10.
Primeiro calculemos \mathrm{v}_{f}^{2}. Com \mathrm{v}_{f}\approx 3{,}960396\\ \mathrm{m/s},
\mathrm{v}_{f}^{2} \approx 15{,}6863\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})}.
Agora 2\mu g = 2 \times 0{,}20 \times 10 = 4\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Logo
d = \frac{15{,}6863}{4} \approx 3{,}9216\\ \mathrm{m}.
(Arredondando com sentido prático, d\approx 3{,}92\\ \mathrm{m}.)

Passo 8

Interpretação curta e chego ao fechamento.
O projétil muito leve transfere pouco momento ao bloco pesado; por isso a velocidade do conjunto após o impacto é da ordem de alguns metros por segundo, não centenas. Com atrito moderado \mu=0{,}20 e desaceleração 2\\ \mathrm{m/s^{2}}, a distância de parada fica em torno de 4\\ \mathrm{m}. Força de atrito e energia dissipada: observe que a energia cinética do conjunto é dissipada pelo trabalho da força de atrito até a parada.

Resposta

a) \mathrm{v}_{f}\approx 3{,}96\\ \mathrm{m/s}\n
b) d\approx 3{,}92\\ \mathrm{m}

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