Um projétil de massa M explode no ponto mais alto de sua trajetória. A distância horizontal percorrida entre o Iançamento e a explosão é de 400,0 \mathrm{~m} e o tempo entre o Iançamento e a explosão é de 8,0 \mathrm{~s}. Após a explosão dois fragmentos de mesma massa m são produzidos com velocidades iniciais paralelas ao solo. Se um dos fragmentos possui velocidade de 48,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na mesma direção da velocidade do projétil antes da explosão, determine o módulo da velocidade do segundo fragmento imediatamente após a explosão. Assuma m=M / 2 e g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Escolha uma opção:
78,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
160,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
52,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
82,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
112,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Massa do projétil antes da explosão: M.
  • A explosão ocorre no ponto mais alto da trajetória.
  • Distância horizontal do lançamento até a explosão: \Delta x = 400,0\\ \mathrm{m}.
  • Tempo desde o lançamento até a explosão: \Delta t = 8,0\\ \mathrm{s}.
  • Após a explosão surgem dois fragmentos de mesma massa m, com m = M/2.
  • Ambos os fragmentos têm velocidades iniciais paralelas ao solo (ou seja, horizontais imediatamente após a explosão).
  • Um dos fragmentos tem velocidade v_1 = 48,0\\ \mathrm{m/s} na mesma direção da velocidade do projétil antes da explosão.
  • Aceleração da gravidade dada: g=10\\ \mathrm{m/s^2} (informação disponível).
    O que se pede:
  • Determinar o módulo da velocidade do segundo fragmento imediatamente após a explosão.

Passo 2

A primeira coisa a fazer é achar a velocidade do projétil imediatamente antes da explosão. No ponto mais alto a componente vertical da velocidade é zero, então a velocidade do projétil é puramente horizontal e constante durante o movimento horizontal. A velocidade horizontal é dada por razão entre deslocamento e tempo:
v = \frac{\Delta x}{\Delta t}.
Substituindo os valores fornecidos:
v = \frac{400,0}{8,0}=50,0\\ \mathrm{m/s}.
Portanto, imediatamente antes da explosão o projétil deslocava-se horizontalmente com velocidade \,v=50,0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora vamos aplicar conservação da quantidade de movimento (momento linear). Explicação didática: a explosão é uma interação interna entre partes do projétil; se durante o curto instante da explosão não houver impulso externo significativo na direção horizontal, a quantidade de movimento total horizontal se conserva. No ponto mais alto a componente vertical da velocidade é zero antes da explosão, e os fragmentos têm velocidades paralelas ao solo (verticais nulas) depois — portanto a análise fica só na direção horizontal.
Escrevendo a conservação de momento na direção horizontal (tomando como positivo o sentido da velocidade original):
M v = m v_1 + m v_2,
onde v_2 é a velocidade (com sinal) do segundo fragmento imediatamente após a explosão. Como m = M/2, podemos simplificar:
M v = \frac{M}{2}(v_1 + v_2).
Dividindo ambos os lados por M:
v = \frac{1}{2}(v_1 + v_2).
Isolando v_2:
v_2 = 2v - v_1.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos que já temos: v=50,0\\ \mathrm{m/s} e v_1=48,0\\ \mathrm{m/s}. Então
v_2 = 2\cdot 50,0 - 48,0 = 100,0 - 48,0 = 52,0\\ \mathrm{m/s}.
O resultado é positivo, ou seja, o segundo fragmento também segue na mesma direção do projétil antes da explosão.
Observação didática curta: a energia cinética total não precisa se conservar numa explosão (na verdade geralmente aumenta, pois há liberação de energia química/inerte), por isso não se tentou usar conservação de energia — a lei aplicável aqui é a conservação do momento linear.

Resposta

52,0\\ \mathrm{m/s}

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