Uma mulher de 56,8 \mathrm{~kg} está sentada na ponta de um banco (de massa desprezível) que tem 4,5 m de comprimento. Um homem de 73,4 \mathrm{~kg} está sentado na outra ponta do banco. Qual a posição do centro de massa, em metros, considerando a posição da mulher como sendo na origem?
Escreva sua resposta com duas casas decimais, e sem a unidade, que deverá ser em metros.
Resposta: □

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede uma coisa só.
Dados:
  • Massa da mulher: m_w = 56,8 (kg).
  • Massa do homem: m_h = 73,4 (kg).
  • Comprimento do banco (distância entre as extremidades onde cada um está): L = 4,5 (m).
  • A posição da mulher é tomada como origem: posição da mulher x_w = 0.
  • Logo, a posição do homem é x_h = 4,5 (m).
O que é pedido:
  • A posição do centro de massa do sistema “mulher + homem” medida a partir da origem (posição da mulher). Entregar o valor numérico com duas casas decimais, sem unidade.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Para um conjunto de partículas puntuais (ou massas concentradas em pontos), a posição do centro de massa ao longo de uma única coordenada x é dada por
x_{\text{cm}}=\frac{\sum_i m_i x_i}{\sum_i m_i},
onde cada m_i é a massa da i-ésima partícula e x_i é a sua posição (medida na mesma referência).
  • Aqui temos só duas massas: a mulher e o homem. O banco é desprezível, então não contribui para o centro de massa.
  • Significado das variáveis no nosso caso:
    • m_1=m_w e x_1=x_w (mulher),
    • m_2=m_h e x_2=x_h (homem).
  • A fórmula específica para duas massas fica
x_{\text{cm}}=\frac{m_w x_w + m_h x_h}{m_w + m_h}.

Passo 3

Aplicando a fórmula com as posições dadas.
  • Substituindo x_w=0 e x_h=4,5 na expressão:
x_{\text{cm}}=\frac{m_w\cdot 0 + m_h\cdot 4,5}{m_w + m_h}.
  • Como m_w\cdot 0 = 0, isso simplifica para
x_{\text{cm}}=\frac{m_h\cdot 4,5}{m_w + m_h}.

Passo 4

Calcular o numerador (produto da massa do homem pela sua posição).
  • Fazendo a multiplicação:
m_h\cdot 4,5 = 73,4 \times 4,5.
  • Uma forma de calcular: 4,5 = \dfrac{9}{2}, então
73,4\times 4,5 = 73,4\times \dfrac{9}{2} = \dfrac{73,4\times 9}{2}.
  • Primeiro 73,4\times 9 = 660,6, então dividindo por 2 obtemos
73,4\times 4,5 = 330,3.
  • Portanto o numerador é 330,3.

Passo 5

Calcular o denominador (soma das massas).
  • Somando as massas:
m_w + m_h = 56,8 + 73,4 = 130,2.

Passo 6

Formar a fração e calcular a divisão (posição do centro de massa).
  • Temos
x_{\text{cm}}=\frac{330,3}{130,2}.
  • Agora dividimos: 330,3 \div 130,2.
    • 130,2\times 2 = 260,4 (restam 69,9).
    • Acrescentando 0,5 130,2\times 0,5 = 65,1 (soma 260,4+65,1=325,5; resta 4,8).
    • Então já temos 2,5 e resto 4,8; 4,8/130,2\approx 0,0368.
    • Assim
x_{\text{cm}}\approx 2,5368\ldots
(isto é, a posição exata em forma decimal é aproximadamente 2,5368 metros).

Passo 7

Arredondamento e interpretação física (motivação para o arredondamento).
  • O enunciado pede duas casas decimais. Arredondando 2,5368\ldots para duas casas decimais obtemos 2,54.
  • Interpretação física rápida: o centro de massa está deslocado em direção ao homem (lado x>0), porque ele é mais pesado; está a pouco mais da metade do banco em relação à mulher ( L/2 = 2,25 ), aqui deu 2,54, ou seja, um pouco além do meio em direção ao homem.

Resposta

2,54

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