Um satélite brasileiro está acoplado a um satélite americano. Para separá-los, é detonada uma pequena carga explosiva, que dá uma energia cinética de
, distribuídos entre os 2 corpos. Sendo a massa do satélite americano de
toneladas, e a do satélite brasileiro
, qual o módulo da velocidade do satélite brasileiro, considerando por simplicidade um referencial em que eles estavam parados inicialmente?
Escolha uma opção:
◯
◯
◯
◯ nenhuma das outras alternativas
◯
◯
◯
◯
◯
◯ nenhuma das outras alternativas
◯
◯
◯
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas tiradas do texto do problema):
- A energia cinética total liberada e distribuída entre os dois satélites é
. - A massa do satélite americano é
toneladas. Convertendo para o SI: . - A massa do satélite brasileiro é
. - Inicialmente, no referencial escolhido, ambos estavam em repouso (velocidades iniciais nulas).
O que o problema pede: - Determinar o módulo da velocidade do satélite brasileiro após a separação (isto é, encontrar
do satélite de massa ).
Passo 2
Quais leis físicas usar e por quê (explicado de forma simples):
- Conservação do momento linear: como a explosão é interna ao sistema formado pelos dois satélites e não há impulso externo significativo, o momento total do sistema se conserva. Como o momento inicial é zero (ambos parados), o momento final também deve ser zero. Isso implica que os momentos dos dois corpos têm mesma magnitude e sentidos opostos.
- Notação: chamar de
o módulo da velocidade do satélite brasileiro (massa ) e de o módulo da velocidade do satélite americano (massa ). A conservação do momento dá:
Aqui e são massas em kg e são módulos das velocidades em . - Notação: chamar de
- Conservação/conta da energia liberada: a explosão fornece energia cinética total
que se transforma nas energias cinéticas dos dois satélites. Logo:
Explicação extra (por que podemos somar assim): a energia fornecida pela explosão aparece como energia cinética de ambos; não estamos considerando perdas externas. Essas duas equações (momento e energia total) são suficientes para encontrar
.
Passo 3
Isolar uma variável usando a conservação do momento:
Da equação , isolamos
:
Da equação
Explicando: como os momenta são iguais em módulo, a velocidade do corpo mais pesado será menor; a razão das velocidades é inversamente proporcional às massas.
Passo 4
Substituir
na equação da energia e montar a equação para
:
Substituindo em
Substituindo
obtemos
Desenvolvendo o primeiro termo:
Então a equação fica
Passo 5
Fatorar
e resolver para
:
Colocando em evidência :
Colocando em evidência
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
:
Colocando em fator comum
no denominador:
Esta fórmula dá o quadrado da velocidade do satélite de massa
em termos das massas e da energia total
. É uma forma prática que aparece muitas vezes em problemas de explosão interna.
Passo 6
Substituir os valores numéricos e calcular (passo a passo, sem pular contas):
Dados: ,
,
.
Calcular :
Dados:
Calcular
Calcular o fator
:
Agora o numerador
é
Portanto
Logo
Em unidades do SI,
.
Passo 7
Verificação rápida (controle de erro, bom hábito em provas):
Usando e relação
:
Usando
Calcular energias cinéticas:
Soma:
. Confere direitinho — ótimo sinal de que não houve erro.