Um satélite brasileiro está acoplado a um satélite americano. Para separá-los, é detonada uma pequena carga explosiva, que dá uma energia cinética de K=5000 \mathrm{~J}, distribuídos entre os 2 corpos. Sendo a massa do satélite americano de M=2 toneladas, e a do satélite brasileiro m=500 \mathrm{~kg}, qual o módulo da velocidade do satélite brasileiro, considerando por simplicidade um referencial em que eles estavam parados inicialmente?

Escolha uma opção:

6,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
5,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
◯ nenhuma das outras alternativas
2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
3,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas tiradas do texto do problema):
  • A energia cinética total liberada e distribuída entre os dois satélites é K=5000\\ \mathrm{J}.
  • A massa do satélite americano é M=2 toneladas. Convertendo para o SI: M=2000\\ \mathrm{kg}.
  • A massa do satélite brasileiro é m=500\\ \mathrm{kg}.
  • Inicialmente, no referencial escolhido, ambos estavam em repouso (velocidades iniciais nulas).
    O que o problema pede:
  • Determinar o módulo da velocidade do satélite brasileiro após a separação (isto é, encontrar v do satélite de massa m).

Passo 2

Quais leis físicas usar e por quê (explicado de forma simples):
  • Conservação do momento linear: como a explosão é interna ao sistema formado pelos dois satélites e não há impulso externo significativo, o momento total do sistema se conserva. Como o momento inicial é zero (ambos parados), o momento final também deve ser zero. Isso implica que os momentos dos dois corpos têm mesma magnitude e sentidos opostos.
    • Notação: chamar de v o módulo da velocidade do satélite brasileiro (massa m) e de V o módulo da velocidade do satélite americano (massa M). A conservação do momento dá:
    M V = m v.Aqui M e m são massas em kg e V,v são módulos das velocidades em \mathrm{m/s}.
  • Conservação/conta da energia liberada: a explosão fornece energia cinética total K que se transforma nas energias cinéticas dos dois satélites. Logo: \tfrac{1}{2}M V^{2} + \tfrac{1}{2}m v^{2} = K.
Explicação extra (por que podemos somar assim): a energia fornecida pela explosão aparece como energia cinética de ambos; não estamos considerando perdas externas. Essas duas equações (momento e energia total) são suficientes para encontrar v.

Passo 3

Isolar uma variável usando a conservação do momento:
Da equação M V = m v, isolamos V:
V = \frac{m}{M}\,v.
Explicando: como os momenta são iguais em módulo, a velocidade do corpo mais pesado será menor; a razão das velocidades é inversamente proporcional às massas.

Passo 4

Substituir V na equação da energia e montar a equação para v:
Substituindo V=\dfrac{m}{M}v em
\tfrac{1}{2}M V^{2} + \tfrac{1}{2}m v^{2} = K,
obtemos
\tfrac{1}{2}M\left(\frac{m}{M}v\right)^{2} + \tfrac{1}{2}m v^{2} = K.
Desenvolvendo o primeiro termo:
\tfrac{1}{2}M\cdot\frac{m^{2}}{M^{2}}v^{2} = \tfrac{1}{2}\frac{m^{2}}{M}v^{2}.
Então a equação fica
\tfrac{1}{2}\frac{m^{2}}{M}v^{2} + \tfrac{1}{2}m v^{2} = K.

Passo 5

Fatorar v^{2} e resolver para v^{2}:
Colocando em evidência \tfrac{1}{2}v^{2}:
\tfrac{1}{2}v^{2}\!\left(\frac{m^{2}}{M}+m\right) = K.
Multiplicando ambos os lados por 2 e isolando v^{2}:
v^{2} = \frac{2K}{\dfrac{m^{2}}{M}+m}.
Colocando em fator comum m no denominador:
v^{2} = \frac{2K}{m\!\left(\dfrac{m}{M}+1\right)}.
Esta fórmula dá o quadrado da velocidade do satélite de massa m em termos das massas e da energia total K. É uma forma prática que aparece muitas vezes em problemas de explosão interna.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e calcular (passo a passo, sem pular contas):
Dados: K=5000\\ \mathrm{J}, m=500\\ \mathrm{kg}, M=2000\\ \mathrm{kg}.
Calcular \dfrac{m}{M}:
\frac{m}{M}=\frac{500}{2000}=0,25.
Calcular o fator m\!\left(\dfrac{m}{M}+1\right):
m\!\left(\frac{m}{M}+1\right)=500\cdot(0,25+1)=500\cdot1,25=625.
Agora o numerador 2K é
2K=2\cdot5000=10000.
Portanto
v^{2}=\frac{10000}{625}=16.
Logo
v=\sqrt{16}=4.
Em unidades do SI, v=\;4,0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Verificação rápida (controle de erro, bom hábito em provas):
Usando v=4,0\\ \mathrm{m/s} e relação V=\dfrac{m}{M}v:
V=\frac{500}{2000}\cdot4,0=0,25\cdot4,0=1,0\\ \mathrm{m/s}.
Calcular energias cinéticas:
\tfrac{1}{2}m v^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot500\cdot(4,0)^{2}=250\cdot16=4000\\ \mathrm{J},
\tfrac{1}{2}M V^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot2000\cdot(1,0)^{2}=1000\\ \mathrm{J}.
Soma: 4000+1000=5000\\ \mathrm{J}=K. Confere direitinho — ótimo sinal de que não houve erro.

Resposta

4,0\\ \mathrm{m/s}

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