Um projétil de massa m é disparado por um canhão na direção vertical, para cima, com velocidade inicial v0=v0 k. Determine (a) o momento angular e (b) o torque exercido pela força gravitacional em função do tempo, em relação a um observador localizado a uma distância x do canhão, mas no mesmo nível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um projétil de massa é disparado verticalmente para cima com velocidade inicial . A gente precisa achar, em função do tempo e em relação a um observador que está a uma distância do canhão (no mesmo nível),
a) o momento angular e
b) o torque da força da gravidade.
Conteúdo: mecânica – momento angular e torque. Para resolver, vamos usar:
  1. definição de vetor posição relativo ao observador,
  2. definição de momento ,
  3. produto vetorial ,
  4. ou (ou ).

Passo 2

Primeiro, encontra a posição do projétil em relação ao observador.
  • Escolhe as coordenadas: o canhão em y(t)=v0,t-tfrac12,g,t^2, . O observador em vec r(t)=lang<= -x,,0,,y(t)rang<==-x,hat i + y(t),hat k.
  • Em tempo , o projétil está em , com
  • Logo, o vetor posição do projétil relativo ao observador é

Passo 3

Agora, o momento vz(t)=ddty(t)=v0 - g,t do projétil é massa vezes velocidade.
  • A velocidade vertical é vec p(t)=m,vec v(t)=ml(0,hat i +0,hat j +(v0 - g,t),hat kr)=m,(v0 - g,t),hat k
  • Então

Passo 4

Hora do momento angular:
vec L(t)=vec r(t)times vec p(t)
Fazendo o determinante do produto vetorial:
vec L(t) = hat i & hat j & hat k -,x & 0 & y(t) 0 & 0 & m,(v0 - g,t) =;x,m,(v0 - g,t),hat j
Portanto
boxedvec L(t)=x,m,(v0 - g,t),hat j

Passo 5

Para o torque da gravidade, usamos vectau =vec r(t)timesl(-m,g,hat kr) = hat i & hat j & hat k -,x & 0 & y(t) 0 & 0 & -m,g =-x,m,g,hat j ou .
  • A força da gravidade é .
  • Logo
Note que é constante no tempo (negativa no sentido ).

Resposta

a)
b)

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