Um projétil de massa é disparado por um canhão na direção vertical, para cima, com velocidade inicial . Determine (a) o momento angular e (b) o torque exercido pela força gravitacional em função do tempo, em relação a um observador localizado a uma distância do canhão, mas no mesmo nível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um projétil de massa é disparado verticalmente para cima com velocidade inicial . A gente precisa achar, em função do tempo e em relação a um observador que está a uma distância do canhão (no mesmo nível),
a) o momento angular e
b) o torque da força da gravidade.
Conteúdo: mecânica – momento angular e torque. Para resolver, vamos usar:
definição de vetor posição relativo ao observador,
definição de momento ,
produto vetorial ,
ou (ou ).
Passo 2
Primeiro, encontra a posição do projétil em relação ao observador.
Escolhe as coordenadas: o canhão em . O observador em .
Em tempo , o projétil está em , com
Logo, o vetor posição do projétil relativo ao observador é
Passo 3
Agora, o momento do projétil é massa vezes velocidade.
A velocidade vertical é
Então
Passo 4
Hora do momento angular:
Fazendo o determinante do produto vetorial:
Portanto
boxedvec L(t)=x,m,(v0 - g,t),hat j
Passo 5
Para o torque da gravidade, usamos vectau =vec r(t)timesl(-m,g,hat kr) = hat i & hat j & hat k -,x & 0 & y(t) 0 & 0 & -m,g =-x,m,g,hat j ou .
A força da gravidade é .
Logo
Note que é constante no tempo (negativa no sentido ).