Projétil sob arrasto linear: Considere um projétil que é lançado no ar com velocidade inicial
, onde ele está sob a ação de duas forças, seu peso e a resistência do ar. Assumido que no regime de velocidade sob consideração, o arrasto pode ser considerado como linear, tal que
.
a) Mostre que as leis de Newton podem ser escritas como
onde eu assumi os eixos
e
nas suas direções usuais, positivos para a direita e para cima respectivamente.
b) Encontre as soluções
c) Assumindo que o projétil é atirado da origem, integre as soluções do item anterior para encontrar
e
.
d) Elimine o tempo das equações para produzir uma equação para
.
e) Use um programa de sua preferência para desenhar esquematicamente um gráfico de
para as constantes
e quatro valores diferentes do coeficiente de arrasto:
e
.
f) Siga as discussões do Taylor entre as equações (2.37) e (2.44) para encontrar o alcance no limite
.
g) Qual a velocidade terminal do projétil?
a) Mostre que as leis de Newton podem ser escritas como
b) Encontre as soluções
d) Elimine o tempo das equações para produzir uma equação para
e) Use um programa de sua preferência para desenhar esquematicamente um gráfico de
f) Siga as discussões do Taylor entre as equações (2.37) e (2.44) para encontrar o alcance no limite
g) Qual a velocidade terminal do projétil?
Passo 1
O enunciado dá um projétil lançado da origem com velocidade inicial
e força de arrasto linear
. A gravidade é
. Os eixos são
para a direita e
para cima.
As perguntas pedidas são:
a) Mostrar que as equações de movimento podem ser escritas como
a) Mostrar que as equações de movimento podem ser escritas como
b) Resolver essas equações para obter
e
.
c) Integrar e
(com origem em
) para achar
e
.
d) Eliminar o tempo para obter .
e) Fazer um gráfico esquemático de para
e
(vou fornecer código e explicar como gerar).
f) Encontra o alcance no limite (expansão em série para arrasto pequeno).
g) Calcular a velocidade terminal do projétil.
c) Integrar
d) Eliminar o tempo para obter
e) Fazer um gráfico esquemático de
f) Encontra o alcance no limite
g) Calcular a velocidade terminal do projétil.
Informações relevantes dadas: massa
, coeficiente de arrasto linear
, aceleração da gravidade
, condição inicial
e posição inicial
.
Passo 2
(a) Escrever as equações de Newton (força resultante = massa × aceleração) nas componentes
e
.
Força resultante total:
Newton em vetores:
. Separando componentes:
- Componente
:
- Componente
:
Isso é exatamente o que o item (a) pedia. (Explicação: a resistência do ar atua contra o movimento, componente por componente, e o peso atua apenas na direção
.)
Passo 3
(b) Resolver a equação para
.
A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear e homogênea:
Método: separação de variáveis (ou reconhecer exponencial decaindo). Separando:
Integrando de
a
e usando
:
Exponenciando,
(Interpretação física: a componente horizontal decai exponencialmente por causa do arrasto linear.)
Passo 4
(b) Resolver a equação para
.
A equação é linear não-homogênea:
Método: fator integrante (ou reconhecer solução particular constante).
Fator integrante:
. Multiplicando ambos os lados:
Integrando de
a
e usando
:
Isolando
:
Simplificando:
(Interpretação física: há uma componente estacionária
e um termo transiente que decai exponencialmente.)
Passo 5
(c) Integrar
e
para obter
e
, com
.
Integrar
com
:
Escrevendo em termos de
:
Agora
. Use
. Integrando:
A integral exponencial é
. Portanto:
Essa fórmula dá a posição vertical a todo instante; verifica-se que
.
Passo 6
(d) Eliminar o tempo para obter
.
Da expressão de
:
Isolando o termo exponencial:
Também precisamos de
para o termo linear em
; tomar o log dá
Substituindo em
(forma conveniente:
), vejamos os passos:
Começando de
usar
e o
em função de
. Assim:
Uma forma reescrita (por clareza):
Observação sobre domínio: para
a expressão dentro do log exige
, o que corresponde ao limite horizontal máximo
(o qual é o limite
de
). No caso
recupera-se o caso sem arrasto clássico:
.
Passo 7
(e) Desenho esquemático de
para
e
.
Como o enunciado não deu
, escolho um exemplo pedagógico: velocidade inicial
e ângulo de lançamento
. Assim
Para que você consiga reproduzir os gráficos no seu computador, aqui vai um código em Python com NumPy e Matplotlib que plota as trajetórias (manter como esquema; trocar
ou
se quiser):
Código (execute num ambiente com numpy e matplotlib):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
m = 1.0
g = 9.8
v0 = 30.0
theta = np.deg2rad(45)
v0x = v0*np.cos(theta)
v0y = v0*np.sin(theta)
bs = [0.0, 0.5, 1.0, 2.0]
tmax = 10.0 # tempo máximo candidato para b=0; para b>0 x tem limite
plt.figure(figsize=(8,6))
for b in bs:
if b == 0.0:
# caso sem arrasto: usar tempo até raiz de y(t)=0 (exceto t=0)
# tempo de queda t_f = 2*v0y/g
tf = 2.0*v0y/g
t = np.linspace(0, tf, 300)
x = v0x * t
y = v0y * t - 0.5 * g * t**2
plt.plot(x, y, label=f"b={b}")
else:
alpha = b / m
# x(t) tende a m*v0x/b; escolher tempo grid até log decay
# usar t de 0 a 5*(m/b) para cobrir aproximação ao limite
tf = 8.0 * m / b
t = np.linspace(0, tf, 500)
x = (m*v0x/b)*(1 - np.exp(-alpha*t))
y = - (m*g/b)*t + (m/b)*(v0y + m*g/b)*(1 - np.exp(-alpha*t))
plt.plot(x, y, label=f"b={b}")
plt.xlabel("x (m)")
plt.ylabel("y (m)")
plt.title("Trajetórias com arrasto linear (exemplo: v0=30 m/s, 45°)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.ylim(bottom=0)
plt.show()
Notas interpretativas (esquemáticas):
- Para
a trajetória é uma parábola clássica; alcance finito . - Para
a componente horizontal tende a um limite finito quando , então a curva se aproxima assintoticamente de e ao longo do tempo se permitirmos muito grande; porém o trecho físico relevante é até a primeira interseção com (alcance). - Aumentando
a curva fica mais “achatada” e o alcance diminui.
Passo 8
(f) Alcance no limite
(arrasto pequeno): expansão em série.
Definição do alcance
: menor
tal que
. Usar a expressão encontrada:
Defina
(pequena) e
. Também defina
(pequeno quando
pequeno). A equação acima transforma-se em
Expandindo
e simplificando:
Como
é pequeno,
é pequeno; então resolver por séries: suponha
Substituindo e comparando ordens, encontra-se
. Assim
Retornando a
:
Lembrando
, obtemos até primeira ordem em
(isto é, ordem
):
Usando identidades trigonométricas com
e
, a forma mais interpretável é
ou explicitamente,
Interpretação: o primeiro termo é o alcance sem arrasto; o termo de correção é negativo e proporcional a
e a
, reduzindo o alcance quando há arrasto pequeno.
Passo 9
(g) Velocidade terminal do projétil.
A velocidade terminal é o limite de
quando
. Das soluções:
Logo a velocidade terminal é um vetor vertical para baixo com magnitude
. Em notação vetorial:
(Física: equilíbrio entre o peso
para baixo e a força de arrasto
para cima, ou seja
.)
Resposta
a)
b)
\
\
c)
\
\
d)
e) Código de exemplo (Python/Matplotlib) fornecido no passo 7; usei
para gerar curvas para
.
f) No limite
(arrasto pequeno),
\
\
g) Velocidade terminal:
\
\