Pêndulo Simples: Considere um pêndulo simples, constituido de uma massa
na ponta de uma corda inelástica de comprimento
sob ação da gravidade
.
- Use a forma polar da aceleração (eq. 1.47 do Taylor), para mostrar que as leis de Newton se reduzem a
onde
é o ângulo entre o pêndulo e a vertical.
a) A equação ( 2 ) nos fornece uma EDO para
que não é facilmente solúvel para qualquer valor do ângulo
. Assuma que a corda é puxada um ângulo
e logo após a soltamos do repouso. Argumente que a equação (2) pode ser aproximada para
b) Resolva a equação aproximada (3) para encontrar
e aplique condições iniciais mencionadas anteriormente,
e
.
c) Use a solução do item anterior e a equação (1) para encontrar
.
d) Em que pontos
e
a tração é máxima? Em que pontos ela é mínima?
a) A equação ( 2 ) nos fornece uma EDO para
c) Use a solução do item anterior e a equação (1) para encontrar
d) Em que pontos
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Massa da partícula:
. - Comprimento da corda (inextensível):
(portanto a distância ao pivô é sempre ). - Aceleração da gravidade:
. - Ângulo entre a corda e a vertical:
. - O enunciado já fornece duas equações (resultado da decomposição das leis de Newton nas direções radial e tangencial):
(essas duas equações são chamadas no enunciado de (1) e (2)). - Massa da partícula:
-
O que é pedido:
a) A partir da equação, justificar que, para e arrancando do repouso, ela pode ser aproximada por b) Resolver essa equação aproximada com as condições iniciaise .
c) Usar a solução do item (b) e a equação radial (a primeira) para obter.
d) Determinar para quaise a tração é máxima e mínima.
Observação: a resolução começa no próximo passo.]
Passo 2
Derivação das equações de movimento (mostrando de onde vêm as equações dadas).
- A fórmula da aceleração em coordenadas polares
é (forma padrão):
Aqui
é a direção radial (do pivô para a massa) e
é a direção tangencial, perpendicular à radial, na direção de aumento de
.
- No pêndulo simples a corda é inelástica, logo
constante. Assim e . Substituindo na expressão da aceleração:
-
Forças atuando sobre a massa:
- Tração da corda
apontando ao longo da corda em direção ao pivô. Em componentes: (porque é positiva e aponta para o pivô, ou seja, no sentido oposto de ). - Peso
apontando para baixo (vertical). Vamos decompor o peso nas direções e . Se é o ângulo entre a corda e a vertical, então a componente radial do peso é (positiva ao longo de ) e a componente tangencial é na direção (com sinal conforme convenção de ). Assim:
(com essa escolha de sinais as equações que se seguem coincidem com as do enunciado). - Tração da corda
-
Aplicando a segunda lei de Newton
componente a componente: - Componente radial:
Que é exatamente a primeira das equações fornecidas:- Componente tangencial:
que é a segunda equação do enunciado:
Passo 3
Item (a): aproximar a equação tangencial para pequenos ângulos.
- A equação tangencial é
Dividindo por
e isolando
:
- Para pequenos ângulos
(isto é, em radianos), usa-se a aproximação de primeira ordem da série de Taylor:
(Explicação rápida:
. Se
é pequeno, os termos de ordem
e superiores são desprezíveis.)
- Substituindo nessa equação obtemos a equação linear aproximada:
Isto conclui a justificativa pedida no item (a).
Passo 4
Item (b): resolver a equação aproximada com as condições iniciais.
- Escrevendo a equação como
(Atenção: a equação tem sinal positivo na frente de
, logo é a equação de crescimento/exponencial, não de oscilação harmônica.)
- A solução geral da EDO linear de coeficientes constantes é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
- Aplicando
:
- Derivando para obter a velocidade angular:
Aplicando
:
- Com
e concluímos . Assim
- Para referência, a velocidade angular é
Passo 5
Item (c): usar a solução do item (b) e a equação radial para encontrar
.
- A equação radial dada é
Isolando
:
-
Substituindo
e (com ): - O termo cinético:
- O termo gravitacional é simplesmente
.
-
Portanto a expressão exata (na aproximação que já fizemos em (a) para obter
) para a tração é
- Se for desejável uma forma ainda mais simples usando pequenas
também dentro do , pode-se usar e obter (aproximação de ordem ):
Usando
isso pode ser rearranjado se for útil, mas a expressão exata anterior já é suficiente.
Passo 6
Item (d): onde
é máxima e onde é mínima.
- Para estudar extremos de
calcule . Usando :
- Agora use a equação tangencial exata dada no enunciado,
, ou seja . Substituindo:
Logo
-
As condições para extremos (derivada nula) são então:
-
, ou -
(isto é, , ).
-
-
Interpretação para o movimento que temos (condição inicial
pequeno e ): - Com a solução encontrada
tem-se . Assim ocorre apenas em . Para , . - Também
nunca é zero para , portanto não ocorre durante a evolução (não há cruzamento por no tempo positivo porque é sempre e cresce).
- Com a solução encontrada
-
Conclusões específicas para a dinâmica descrita:
- O único ponto onde
e compatível com a evolução é , onde e . Nesse ponto é mínimo (verificar sinal de : para temos e , então , isto é, cresce a partir de ). Portanto tem um mínimo em , . - Não há tempo finito em que
atinge um máximo no futuro próximo — com a solução obtida cresce monotonamente para (o crescimento do termo centrípeto domina, e também cresce), de modo que a tração tende a aumentar sem limite dentro do modelo linearizado usado. Portanto não existe um máximo finito de durante essa evolução; apenas um mínimo inicial em .
- O único ponto onde
-
Observação física (para ajudar a intuição): o modelo linearizado que levou à equação
descreve uma situação com comportamento exponencial (como um pêndulo invertido em torno de uma posição instável). Se o sinal na equação fosse o usual da oscilação estável, , obteríamos solução oscilatória e então seria máxima ao passar pela vertical ( , velocidade máxima) e mínima nos pontos de reversão ( , máximo). Aqui, porém, seguindo as equações do enunciado, o movimento cresce e a tração aumenta monotonamente a partir do mínimo inicial.
Resposta
a)
b)
c)
d)
é mínima em
(ou seja,
); para
cresce monotonamente e não existe um máximo finito durante a evolução prevista por esta solução (o valor de
aumenta sem limite no modelo).