Pêndulo Simples: Considere um pêndulo simples, constituido de uma massa m na ponta de uma corda inelástica de comprimento L sob ação da gravidade g.
  • Use a forma polar da aceleração (eq. 1.47 do Taylor), para mostrar que as leis de Newton se reduzem a
\begin{array}{r} m g \cos (\theta)-T=-m L \dot{\theta}^{2} \\\ m g \sin (\theta)=m L \ddot{\theta} \end{array}
onde \theta é o ângulo entre o pêndulo e a vertical.
a) A equação ( 2 ) nos fornece uma EDO para \theta(t) que não é facilmente solúvel para qualquer valor do ângulo \theta. Assuma que a corda é puxada um ângulo \theta_{0} \ll 1 e logo após a soltamos do repouso. Argumente que a equação (2) pode ser aproximada para
\ddot{\theta}(t)=\frac{g}{L} \theta(t)
b) Resolva a equação aproximada (3) para encontrar \theta(t) e aplique condições iniciais mencionadas anteriormente, \theta(0)=\theta_{0} e \dot{\theta}(0)=0.
c) Use a solução do item anterior e a equação (1) para encontrar T(t).
d) Em que pontos \theta e t a tração é máxima? Em que pontos ela é mínima?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Massa da partícula: m.
    • Comprimento da corda (inextensível): L (portanto a distância ao pivô é sempre r=L).
    • Aceleração da gravidade: g.
    • Ângulo entre a corda e a vertical: \theta(t).
    • O enunciado já fornece duas equações (resultado da decomposição das leis de Newton nas direções radial e tangencial):
    \begin{array}{r} m g \cos (\theta)-T=-m L \dot{\theta}^{2} \\[4pt] m g \sin (\theta)=m L \ddot{\theta} \end{array}
    (essas duas equações são chamadas no enunciado de (1) e (2)).
  • O que é pedido:
    a) A partir da equação \,m g \sin(\theta)=m L \ddot{\theta}, justificar que, para \theta_0\ll 1 e arrancando do repouso, ela pode ser aproximada por
    \ddot{\theta}(t)=\frac{g}{L}\theta(t).
    b) Resolver essa equação aproximada com as condições iniciais \theta(0)=\theta_0 e \dot{\theta}(0)=0.
    c) Usar a solução do item (b) e a equação radial (a primeira) para obter T(t).
    d) Determinar para quais \theta e t a tração T é máxima e mínima.
Observação: a resolução começa no próximo passo.]

Passo 2

Derivação das equações de movimento (mostrando de onde vêm as equações dadas).
  • A fórmula da aceleração em coordenadas polares (r,\theta) é (forma padrão):
\mathbf{a} = \bigl(\ddot r - r\dot\theta^{2}\bigr)\,\hat{\mathbf{r}} + \bigl(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\bigr)\,\hat{\boldsymbol{\theta}}.
Aqui \hat{\mathbf{r}} é a direção radial (do pivô para a massa) e \hat{\boldsymbol{\theta}} é a direção tangencial, perpendicular à radial, na direção de aumento de \theta.
  • No pêndulo simples a corda é inelástica, logo r=L constante. Assim \dot r=0 e \ddot r=0. Substituindo na expressão da aceleração:
\mathbf{a} = \bigl(-L\dot\theta^{2}\bigr)\,\hat{\mathbf{r}} + \bigl(L\ddot\theta\bigr)\,\hat{\boldsymbol{\theta}}.
  • Forças atuando sobre a massa:
    • Tração da corda \mathbf{T} apontando ao longo da corda em direção ao pivô. Em componentes: \mathbf{T} = -T\,\hat{\mathbf{r}} (porque T é positiva e aponta para o pivô, ou seja, no sentido oposto de \hat{\mathbf{r}}).
    • Peso \mathbf{P}=m\mathbf{g} apontando para baixo (vertical). Vamos decompor o peso nas direções \hat{\mathbf{r}} e \hat{\boldsymbol{\theta}}. Se \theta é o ângulo entre a corda e a vertical, então a componente radial do peso é m g \cos\theta (positiva ao longo de \hat{\mathbf{r}}) e a componente tangencial é m g \sin\theta na direção \hat{\boldsymbol{\theta}} (com sinal conforme convenção de \theta). Assim:
    \mathbf{P} = m g \cos\theta\,\hat{\mathbf{r}} + m g \sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}}.
    (com essa escolha de sinais as equações que se seguem coincidem com as do enunciado).
  • Aplicando a segunda lei de Newton \sum \mathbf{F} = m\mathbf{a} componente a componente:
    • Componente radial:
    -T + m g \cos\theta = m(-L\dot\theta^{2}).
    Que é exatamente a primeira das equações fornecidas:
    m g \cos(\theta)-T=-m L \dot{\theta}^{2}.
    • Componente tangencial:
    m g \sin\theta = m (L\ddot\theta),
    que é a segunda equação do enunciado:
    m g \sin(\theta)=m L \ddot{\theta}.

Passo 3

Item (a): aproximar a equação tangencial para pequenos ângulos.
  • A equação tangencial é
m g \sin(\theta)=m L \ddot{\theta}.
Dividindo por m e isolando \ddot\theta:
\ddot\theta = \frac{g}{L}\sin\theta.
  • Para pequenos ângulos \theta (isto é, \theta_0\ll 1 em radianos), usa-se a aproximação de primeira ordem da série de Taylor:
\sin\theta \approx \theta.
(Explicação rápida: \sin\theta = \theta - \theta^{3}/6 + \cdots. Se \theta é pequeno, os termos de ordem \theta^{3} e superiores são desprezíveis.)
  • Substituindo nessa equação obtemos a equação linear aproximada:
\ddot\theta(t) = \frac{g}{L}\,\theta(t).
Isto conclui a justificativa pedida no item (a).

Passo 4

Item (b): resolver a equação aproximada com as condições iniciais.
  • Escrevendo a equação como
\ddot\theta - \omega^{2}\theta = 0,\qquad\text{onde }\omega \equiv \sqrt{\frac{g}{L}}.
(Atenção: a equação tem sinal positivo na frente de \omega^{2}, logo é a equação de crescimento/exponencial, não de oscilação harmônica.)
  • A solução geral da EDO linear de coeficientes constantes é
\theta(t)=A e^{\omega t}+B e^{-\omega t},
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.
  • Aplicando \theta(0)=\theta_{0}:
\theta(0)=A+B=\theta_{0}.
  • Derivando para obter a velocidade angular:
\dot\theta(t)=\omega\bigl(A e^{\omega t}-B e^{-\omega t}\bigr).
Aplicando \dot\theta(0)=0:
\dot\theta(0)=\omega(A-B)=0 \quad\Rightarrow\quad A=B.
  • Com A=B e A+B=\theta_{0} concluímos A=B=\theta_{0}/2. Assim
\theta(t)=\frac{\theta_{0}}{2}\bigl(e^{\omega t}+e^{-\omega t}\bigr)=\theta_{0}\operatorname{cosh}(\omega t).
  • Para referência, a velocidade angular é
\dot\theta(t)=\theta_{0}\omega\operatorname{sinh}(\omega t).

Passo 5

Item (c): usar a solução do item (b) e a equação radial para encontrar T(t).
  • A equação radial dada é
m g \cos(\theta)-T=-m L \dot{\theta}^{2}.
Isolando T:
T = m g \cos(\theta) + m L \dot{\theta}^{2}.
  • Substituindo \theta(t)=\theta_{0}\operatorname{cosh}(\omega t) e \dot\theta(t)=\theta_{0}\omega\operatorname{sinh}(\omega t) (com \omega=\sqrt{g/L}):
    • O termo cinético:
    m L \dot{\theta}^{2} = m L \bigl(\theta_{0}^{2}\omega^{2}\operatorname{sinh}^{2}(\omega t)\bigr) = m L \theta_{0}^{2}\frac{g}{L}\operatorname{sinh}^{2}(\omega t) = m g \theta_{0}^{2}\operatorname{sinh}^{2}(\omega t).
    • O termo gravitacional é simplesmente m g \cos\bigl(\theta_{0}\operatorname{cosh}(\omega t)\bigr).
  • Portanto a expressão exata (na aproximação que já fizemos em (a) para obter \theta(t)) para a tração é
T(t)=m g \cos\!\bigl(\theta_{0}\operatorname{cosh}(\omega t)\bigr)+m g \theta_{0}^{2}\operatorname{sinh}^{2}(\omega t), \qquad \omega=\sqrt{\frac{g}{L}}.
  • Se for desejável uma forma ainda mais simples usando pequenas \theta também dentro do \cos, pode-se usar \cos\theta\approx 1-\tfrac{1}{2}\theta^{2} e obter (aproximação de ordem \theta_{0}^{2}):
T(t)\approx m g\Bigl[1 - \tfrac{1}{2}\theta_{0}^{2}\operatorname{cosh}^{2}(\omega t) + \theta_{0}^{2}\operatorname{sinh}^{2}(\omega t)\Bigr].
Usando \operatorname{sinh}^{2}=\operatorname{cosh}^{2}-1 isso pode ser rearranjado se for útil, mas a expressão exata anterior já é suficiente.

Passo 6

Item (d): onde T é máxima e onde é mínima.
  • Para estudar extremos de T(t) calcule \dfrac{dT}{dt}. Usando T = m g \cos\theta + m L \dot\theta^{2}:
\frac{dT}{dt} = -m g \sin\theta\,\dot\theta + 2 m L \dot\theta\,\ddot\theta = m\dot\theta\bigl(-g\sin\theta + 2L\ddot\theta\bigr).
  • Agora use a equação tangencial exata dada no enunciado, m g\sin\theta = m L\ddot\theta, ou seja L\ddot\theta = g\sin\theta. Substituindo:
- g\sin\theta + 2L\ddot\theta = -g\sin\theta + 2g\sin\theta = g\sin\theta.
Logo
\frac{dT}{dt} = m\dot\theta\,(g\sin\theta).
  • As condições para extremos (derivada nula) são então:
    • \dot\theta=0, ou
    • \sin\theta=0 (isto é, \theta=k\pi, k\in\mathbb{Z}).
  • Interpretação para o movimento que temos (condição inicial \theta(0)=\theta_{0}>0 pequeno e \dot\theta(0)=0):
    • Com a solução encontrada \theta(t)=\theta_{0}\operatorname{cosh}(\omega t) tem-se \dot\theta(t)=\theta_{0}\omega\operatorname{sinh}(\omega t). Assim \dot\theta(t)=0 ocorre apenas em t=0. Para t>0, \dot\theta(t)>0.
    • Também \theta(t)=\theta_{0}\operatorname{cosh}(\omega t) nunca é zero para \theta_{0}\neq 0, portanto \sin\theta=0 não ocorre durante a evolução (não há cruzamento por \theta=0 no tempo positivo porque \operatorname{cosh} é sempre \ge1 e cresce).
  • Conclusões específicas para a dinâmica descrita:
    • O único ponto onde dT/dt=0 e compatível com a evolução é t=0, onde \dot\theta=0 e \theta=\theta_{0}. Nesse ponto T é mínimo (verificar sinal de dT/dt: para t>0 temos \dot\theta>0 e \sin\theta>0, então dT/dt>0, isto é, T cresce a partir de t=0). Portanto T tem um mínimo em t=0, \theta=\theta_{0}.
    • Não há tempo finito em que T atinge um máximo no futuro próximo — com a solução obtida T(t) cresce monotonamente para t>0 (o crescimento do termo centrípeto domina, e também \theta cresce), de modo que a tração tende a aumentar sem limite dentro do modelo linearizado usado. Portanto não existe um máximo finito de T durante essa evolução; apenas um mínimo inicial em t=0.
  • Observação física (para ajudar a intuição): o modelo linearizado que levou à equação \ddot\theta = (g/L)\theta descreve uma situação com comportamento exponencial (como um pêndulo invertido em torno de uma posição instável). Se o sinal na equação fosse o usual da oscilação estável, \ddot\theta = -(g/L)\theta, obteríamos solução oscilatória e então T seria máxima ao passar pela vertical ( \theta=0, velocidade máxima) e mínima nos pontos de reversão ( \dot\theta=0, |\theta| máximo). Aqui, porém, seguindo as equações do enunciado, o movimento cresce e a tração aumenta monotonamente a partir do mínimo inicial.

Resposta

a) \ddot{\theta}(t)=\dfrac{g}{L}\theta(t).
b) \displaystyle \theta(t)=\theta_{0}\operatorname{cosh}\!\biggl(\sqrt{\dfrac{g}{L}}\,t\biggr).
c) \displaystyle T(t)=m g \cos\!\bigl(\theta_{0}\operatorname{cosh}(\omega t)\bigr)+m g \theta_{0}^{2}\operatorname{sinh}^{2}(\omega t),\quad \omega=\sqrt{\dfrac{g}{L}}.
d) T é mínima em t=0 (ou seja, \theta=\theta_{0}); para t>0 T cresce monotonamente e não existe um máximo finito durante a evolução prevista por esta solução (o valor de T aumenta sem limite no modelo).

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