Um trocador de calor do tipo placas paralelas com comprimento de 2 m , altura de 1,2 \mathrm{~m} e largura de 1,4 \mathrm{~m} deve ser projetado para que a queda pressão através do mesmo não ultrapasse o valor de 2 kPa . Considere o fluido sendo a água a uma temperatura média de 50^{\circ} \mathrm{C}. Se a vazāo volumétrica total é de 900 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, determine o número de placas para que os requerimentos sejam obedecidos.

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos (peguei as dimensões da imagem):
  • Pede: determinar o número de placas N de um trocador de placas paralelas de modo que a queda de pressão através do trocador não ultrapasse \,2{,}0\\ \text{kPa}.
  • Dados geométricos (da figura): comprimento L=2{,}0\\ \text{m}, altura H=1{,}2\\ \text{m} e largura total W=1{,}4\\ \text{m}.
  • Vazão volumétrica total: Q_{\text{tot}}=900\\ \text{m}^3/\text{h}.
  • Fluido: água a 50^\circ\text{C} (usar propriedades da água a 50^\circ\text{C}).
  • Limite de queda de pressão: \Delta P_{\max}=2{,}0\\ \text{kPa}=2000\\ \text{Pa}.
Conversões iniciais:
  • Converter a vazão para SI:
Q_{\text{tot}}=\frac{900}{3600}=0{,}25\\ \text{m}^3/\text{s}.
Observação sobre o arranjo: com N placas haverá N-1 canais paralelos para o fluxo (assume-se espessura das placas desprezível). Cada canal tem abertura (espessura do canal) s e área de seção transversal A_c = s\cdot H. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Modelo do escoamento e relação entre vazões e dimensões:
  • Número de canais: n_c = N-1.
  • Largura efetiva total ocupada pelos canais (desprezando a espessura das placas) é W. Assim a folga (abertura) de cada canal é
s=\frac{W}{N-1}.
  • Vazão por canal:
Q_c=\frac{Q_{\text{tot}}}{N-1}.
  • Velocidade média em cada canal (velocidade média no plano de seção s\times H):
U=\frac{Q_c}{A_c}=\frac{Q_c}{s H}=\frac{Q_{\text{tot}}}{(N-1)\,s\,H}.
Substituindo s=\dfrac{W}{N-1} obtém-se uma simplificação importante:
U=\frac{Q_{\text{tot}}}{W H}.
Comentário: a velocidade média U é independente de N quando se despreza a espessura das placas, porque aumentar o número de canais diminui s na mesma razão em que a vazão por canal diminui.

Passo 3

Expressão da perda de carga para escoamento laminar entre placas paralelas:
  • Para escoamento totalmente desenvolvido, laminar, entre duas placas paralelas (geometria com largura efetiva muito maior que s), o fluxo por unidade de largura satisfaz a relação (resultado padrão da solução de Poiseuille entre placas):
q'=\frac{s^{3}}{12\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right),
onde q' é vazão por unidade de largura (m^2/s), \mu é a viscosidade dinâmica e -dp/dx é o gradiente de pressão.
  • Para um canal de largura (no sentido vertical da figura) H a vazão por canal é Q_c=q'\,H. Reorganizando para -dp/dx e integrando sobre o comprimento L obtém-se a perda de carga por canal:
\Delta P = -\int_0^L \frac{dp}{dx}\,dx = \frac{12\mu L Q_c}{H s^{3}}.
  • Substituindo Q_c=U s H (pois Q_c=U\cdot s\cdot H) dá uma forma mais simples:
\Delta P = \frac{12\mu L U}{s^{2}}.
  • Substituindo U=\dfrac{Q_{\text{tot}}}{W H} e s=\dfrac{W}{N-1} obtemos a expressão final relacionando \Delta P e N:
\Delta P = \frac{12\mu L Q_{\text{tot}}(N-1)^{2}}{H W^{3}}.
Nesta fórmula:
  • \Delta P é a perda de carga ao longo do comprimento L,
  • \mu é a viscosidade dinâmica da água,
  • Q_{\text{tot}} é a vazão total,
  • H,W,L são as dimensões dadas,
  • N é o número de placas desejado.

Passo 4

Escolher propriedade da água a 50^\circ\text{C} e resolver para N:
  • Propriedade usada (tabela para água a 50^\circ\text{C}):
\mu = 5{,}47\times 10^{-4}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
(aproximação padrão; se for usada outra tabela o resultado muda levemente.)
  • Colocando os números na fórmula e exigindo \Delta P \le 2000\\ \text{Pa}, resolve-se para N-1:
2000 \ge \frac{12\mu L Q_{\text{tot}}(N-1)^{2}}{H W^{3}} \quad\Rightarrow\quad (N-1)^{2} \le \frac{2000\; H\; W^{3}}{12\mu L Q_{\text{tot}}}.
Agora calcular numericamente (todas as grandezas em SI):
Q_{\text{tot}}=0{,}25\\ \text{m}^3/\text{s},\quad L=2{,}0\\ \text{m},\quad H=1{,}2\\ \text{m},\quad W=1{,}4\\ \text{m},
\mu=5{,}47\times10^{-4}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
Calcular o lado direito:
\text{num} = 2000\cdot 1{,}2\cdot(1{,}4)^{3} = 2000\cdot1{,}2\cdot 2{,}744 = 6585{,}6,
\text{den} = 12\cdot(5{,}47\times10^{-4})\cdot 2{,}0\cdot 0{,}25 = 12\cdot 5{,}47\times10^{-4}\cdot 0{,}5 = 12\cdot 2{,}735\times10^{-4} = 0{,}003282.
(N-1)^{2} \le \frac{6585{,}6}{0{,}003282} \approx 2{,}005{,}457.
N-1 \le \sqrt{2{,}005{,}457}\approx 1416{,}2.
Portanto
N \le 1417{,}2.
Como N deve ser inteiro, o número máximo de placas que satisfaz a restrição é
N_{\max}=1417\\ \text{placas}.
Observação prática: isso significa n_c=N-1=1416 canais e uma folga por canal típica
s=\frac{W}{N-1}=\frac{1{,}4}{1416}\approx 9{,}9\times 10^{-4}\\ \text{m}\approx 0{,}99\\ \text{mm}.
Esse valor de folga pequeno mostra que, na prática, espessuras de placa e folgas mínimas de fabricação importariam; o modelo aqui assume placas sem espessura e escoamento laminar desenvolvido.

Passo 5

Interpretação e dica para a prova:
  • A dependência \Delta P\propto (N-1)^2 mostra que aumentar muito o número de placas (reduzir muito a folga s) eleva fortemente a perda de carga; por isso em projeto há compromisso entre área de troca e queda de pressão.
  • Se for necessário considerar espessura das placas t, substituir s=\dfrac{W-(N\cdot t)}{N-1} e repetir a dedução.
  • Para segurança de projeto recomenda-se adotar um número ligeiramente menor que N_{\max} (ex.: N=1300 1400) para acomodar irregularidades de fabricação e eventuais perdas adicionais.

Resposta

N = 1417 placas

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